6.2.4 第2课时 向量的数量积(二)（Word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

第2课时　向量的数量积(二) 课程标准 核心素养 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式． 2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明 学会运用平面向量数量积的运算律及常用的公式解决问题(数学抽象，数学运算) 1．平面向量数量积的运算律 运算律 代数表达式 交换律 a·b＝b·a 数乘结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c (1)若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c? 答案：不可以． 已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下： 如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|， b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|. 所以a·b＝b·c，但是a≠c. (2)实数运算满足乘法结合律，那么向量的数量积运算是否也满足乘法结合律？ 答案：向量的数量积运算不满足乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． 2．平面向量数量积的运算性质 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a 判断正误． (1)a(b·c)＝(a·b)c.(　　×　　) (2)·＋·＝·(＋)＝·.(　　√　　) (3)λ(a·b)＝λa·b.(　　√　　) 解析：(1)三个向量的数量积的结合律不成立，即a(b·c)≠(a·b)c. (2)由数量积的分配律可知其正确． (3)由数量积的运算律可知λ(a·b)＝λa·b. 知识点一　向量数量积的运算性质 (1)(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，其中正确的是(　　) A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)a－(c·a)b不与c垂直 C．|a|－|b|<|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 (2)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求： ①(a＋b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b)． (1)ACD　解析：根据数量积的分配律知A正确； 因为[(b·c)a－(c·a)b]·c ＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0， ∴(b·c)a－(c·a)b与c垂直，B错误； 因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边， ∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确； 由数量积的运算性质可知D正确．故选ACD． (2)解：①(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91. ②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°， 所以a·b＝10×3×cos 120°＝－15， 所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2 ＝200＋15－9＝206. 向量的数量积与实数乘积的区别 向量的数量积a·b与实数a，b的乘积ab有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律． 　对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是(　　) A．|a·b|＝|a||b| B．|a＋b|＝|a|＋|b| C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a|＝ D　解析：因为a·b＝|a||b|cos θ， 所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误； 根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误； 因为(a·b)c是向量，其方向与向量c相同，a(b·c)是向量，其方向与向量a相同，所以C错误； 因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2， 所以|a|＝，所以D正确．故选D． 知识点二　求向量的模和夹角问题 已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝. (1)求|b|； (2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值． 解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝， 即|a|2－|b|2＝， 所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝. (2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2 ＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1. 又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，