6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（Word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

6．3.5　平面向量数量积的坐标表示 课程标准 核心素养 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算． 2．能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直 1.会进行平面向量数量积的坐标运算．(数学运算) 2．能利用坐标运算判断向量垂直(逻辑推理) 平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 数量积的 坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 模长的坐 标表示 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝____________． 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝ 垂直的坐 标表示 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 夹角的坐 标表示 cos θ＝＝ (1)若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？ 答案：不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°. (2)已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？ 答案：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向． 易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直， 所以与a垂直的单位向量b0的坐标为 ±，其中正、负号表示不同的方向． 已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝________． 2　解析：由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2. 知识点一　平面向量数量积的坐标运算 (1)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 (2)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 (3)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6，3)，若b·c＝14，|c|＝5，则向量c的坐标为________． (1)A　解析：由＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，得·＝(2，1)·(3，－1)＝5.故选A． (2)C　解析：由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.故选C． (3)(3，4)或(4，3)　解析：因为2b＝(a＋2b)－a＝(6，3)－(2，－1)＝(4，4)，所以b＝(2，2)．设c＝(x，y)，则由题可知解得或所以c＝(3，4)或c＝(4，3)． 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解． 已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a. 解：(1)因为a与b同向，b＝(1，2)，所以a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)． 又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0. 因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2，4)． (2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b·c)·a＝0·a＝0. 知识点二　向量的夹角及模长的坐标表示 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1)． (1)试计算a·b及|a＋b|的值； (2)求向量a与b夹角的余弦值． 解：(1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)， b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)， ∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1， |a＋b|＝＝＝. (2)设a，b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cos θ， 得cos θ＝＝＝. [探究]将本例(2)条件改为“已知|a|＝1，b＝(0，2)，且a·b＝1”，求向量a与b夹角的大小． 解：因为|a|＝1，b＝(0，2)，且a·b＝1， 设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝.又因为θ∈[0，π]，则θ＝.所以向量a与b夹角的大小为. 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐