7.4 二项分布与超几何分布 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

二项分布与超几何分布 1 二项分布 ① 重伯努利试验 (1)我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳性或阴性; (2)将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验, (3)重伯努利试验具有如下共同特征 第一:同一个伯努利试验重复做次; 第二:各次试验的结果相互独立; ② 二项分布 (1) 概念 一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则 此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率. 随机变量的分布列如下 (其中) 由二项定理,可得 这也许是这分布为什么叫做二项式定理的原因吧! (2)案例(二项分布可以用下例理解下) 小明投篮命中率是那他投次恰好中次的概率是 . 解析:小明投5次,如下图,他只中了2次, 第一次投篮 第二次投篮 第三次投篮 第四次投篮 第五次投篮 问:那他是哪两次中了? 答:共有可能情况(就组合问题而已). 问:那他每种情况的概率是相等的么? 答:是的,每次投篮都是独立事件,每种情况都是中2次不中3次,那概率是. 那所求概率. ③ 二项分布的期望与方差 一般地,如果那么. 下面对期望进行证明 证明 令由可得 令则 2 超几何分布 ① 概念 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为: 其中. 如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布. ② 案例(超几何分布可以用下例理解下) 个产品中有个优品个次品,从个产品中抽出个恰好有个次品的概率是 . 解:利用古典概型的公式 那所求概率事件中“”为(个产品抽个,不管有多少个次品),而“个恰好有个次品”意味着“事件的样本点个数”为(3个优品从个优品抽个次品从个次品抽),所以. 这题是超几何分布,“抽个产品有个次品”的潜台词可理解是“一次性拿个产品,不放回抽样”的. ③ 超几何分布的期望 设随机变量服从超几何分布,则. 证明 令有 因为所以 注:超几何分布的模型是不放回抽样 ④ 二项分布与超几何分布的关联 (1) 已知个产品中有个次品,分别采取放回和不放回的方式随机抽取的4件产品,次品数为求随机变量的分布列, 若采取放回的方式,则每次抽到次品的概率为且各次抽样的结果相互独立,则服从二项分布,即; 若采取不放回的方式,虽然每次抽到次品的概率为但每次抽取不是同一个试验,各次抽取的结果也不独立,不符合重伯努利试验的特征,因此不服从二项分布,服从超几何分布. (2) 二项分布和超几何分布都是可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律,并且两者的均值相同,对于不放回抽样,当远远小于时,每抽取一次后,对的影响很小,此时超几何分布可以用二项分布近似. 【题型一】 二项分布与超几何分布的概念 【典题1】 下列随机变量服从二项分布的是( ) ①随机变量表示重复抛掷一枚骰子次中出现点数是3的倍数的次数; ②某射手击中目标的概率为从开始射击到击中目标所需的射击次数; ③有一批产品共有件,其中件为次品,采用有放回抽取方法表示次抽取中出现次品的件数; ④有一批产品共有件,其中件为次品,采用不放回抽取方法表示次抽取中出现次品的件数. A.②③ B.①④ C.③④ D.①③ 【解析】①由于每抛掷一枚骰子出现点数是3的倍数的概率都是相等的,且相互独立,故随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数服从二项分布; ②对于某射手从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ,每次实验不是独立的,与其它各次试验结果有关,故不是二项分布; ③有一批产品共有件,其中件为次品,由于采用有放回抽取方法,每一次抽取中出现次品的概率都是相等的,且相互独立,故表示次抽取中出现次品的件数服从二项分布; ④由于采用不放回抽取方法,每一次抽取中出现次品的概率不相等的,故表示次抽取中出现次品的件数不服从二项分布;故选:. 【典题2】 袋中有8个白球,2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球,求 (1) 有放回抽样时,取到黑球的个数的分布列; (2) 不放回抽样时,取到黑球的个数的分布列. 【解析】(1) 有放回抽样时,取到的黑球数可能的取值为又由于每次取到黑球的概率均为3次取球可看成3次独立重复试验, 故随机变量服从二项分布 则 则随机变量的分布列为 (2) 不放回抽样时,取到黑球的可能的取值为服从超几何分布, 则随机变量的分布列为 【典题3】 某篮球运动员每次投篮投中的概率是每次投篮的结果相互独立,那么在他10次投篮中,记最有可能投中的次数为则的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】由题意知,投中的次数), 所以 因为最有可能投中的次数为 所以 即解得 所以. 故选:. 巩固练习 1(★) 下面随机变量X的