7.2-7.3 离散型随机变量 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

离散型随机变量 一 离散型随机变量及其分布列 1 随机变量 ① 概念 一般地,对于随机试验样本空间中每个样本点,都有唯一的实数与之对应,我们称为随机变量. ②分类 随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量. Eg:投掷一个骰子,得到的点数为,它是离散型随机变量,能够一一列举出来; 一人一天摄取的卡路里,它是连续型随机变量. 2 分布列 ① 概念 一般地,设离散型随机变量可能取的值为,取每一个值的概率,则称以下表格 为随机变量的概率分布列,简称的分布列. ② 性质 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质 3 两点分布 如果随机变量的分布列为 则称服从两点分布,并称为成功概率. 二 离散型随机变量的数字特征 1 离散随机变量的均值(数学期望) 概念 一般地,随机变量的概率分布列为 则称 为的数学期望或均值,简称为期望. 它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,反映了离散型随机变量取值的平均水平. 若 ,其中为常数,则也是变量 则 ,即(利用期望的概念可以证明) 一般地,如果随机变量服从两点分布,那么 即若服从两点分布,则 2 离散型随机变量取值的方差和标准差 (1)一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为 则称 为随机变量的方差,有时候也记为,并称为随机变量的标准差,记为。 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差越小,随机变量的取值越集中;方差越大,随机变量的取值越分散. 一般地,.(可用方差的概念证明) 证明 【题型一】 离散型随机变量的分布列性质 【典题1】设随机变量的分布列如表: 其中构成等差数列,则的( ) A.最大值为 B.最大值为 C.最小值为 D.最小值为 【解析】,由等差数列的性质可得, 所以≤, 所以的最大值为,无最小值. 故选:. 【典题2】设随机变量的分布列为,则( ) A. B. C. D. 【解析】由题意可得,即,故正确; ,故正确; ,故正确; ,故不正确. 故选:. 【点拨】离散型随机变量的分布列具有下述两个性质: 巩固练习 1(★) 若随机变量的分布列如表: 则当时,的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可得P(X<-2)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,则m∈(0,1]. 故选:B. 2(★) 设随机变量的分布列为,则等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵随机变量ξ的分布列为, ∴a+2a+3a+4a=1,解得a=0.1, ∴P(ξ+P(ξ2×0.1+3×0.1. 故选:D. 3(★) 已知随机变量ξ的分布列为: 若,则实数的取值范围是( ) A. B. C.或 D.或 【答案】A 【解析】由随机变量ξ的分布列,知: ξ2的可能取值为0,1,4,9, 且P(ξ2=0,P(ξ2=1, P(ξ2=4,P(ξ2=9, ∵P(ξ2<x, ∴实数x的取值范围是4<x≤9. 故选:A. 【题型二】 离散型随机变量的数字特征 【典题1】 设离散型随机变量的分布列为 若离散型随机变量满足,则下列结果正确的有( ) A. B. C. D. 【解析】由离散型随机变量X的分布列的性质得:, , , 离散型随机变量满足, , 故选:. 【点拨】 ① 熟悉期望与方差的概念; ② 熟悉公式和. 【典题2】已知,分别从集合中各随机取一个数,得到平面上一个点,事件“点恰好落在直线上”对应的随机变量为,,的数学期望和方差分别为,则( ) A. B. C. D. 【解析】由题意得对应的点有9种可能: , 对应的的可能取值为, , (先求出随机变量的分布列) 对于,,故错误; 对于,,故正确; 对于,,故正确; 对于,,故正确. 故选:. 【典题3】已知随机变量X的分布列如表: 其中.若的方差对所有都成立,则( ) A. B. C. D. 【解析】依题意,故, 当时,故, , 令,则 ,, 故,在时恒成立, 当时有最小值,故, 故,即,所以, 故选:. 【点拨】方差与期望之间除了,有一个很好用的公式: . 巩固练习 1(★★) 【多选题】设离散型随机变量X的分布列为 若离散型随机变量满足,则下列结果正确的有( ) A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】由离散型随机变量X的分布列的性质得:, , , 离散型随机变量满足, , 故选: 2(★★) 【多选题】已知随机变量的分布列是 随机变量的分布列是 1 2 3 则当在内增大时,下列选项中正确的是( ) A. B. C.增大 D.先增大后减小 【答案】BC 【解析】对于A,∵η=ξ+2,∴E(η)=E(ξ)+2,故A错误; 对于B,∵η=ξ+2,∴V(ξ)=V(η),故B正确; 对于C,∵E(ξ, ∴当p在(0,1)内增大时,E(ξ)增大,故