6.2 6.2.1 空间向量基本定理（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（苏教版）

A层(必备知识练) 1．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D.或 解析：∵＝(a－b)，∴与a，b共面， ∴a，b，不能构成空间基底． 答案：C 2．若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，，成为空间一组基底的关系的是(　　) A.＝＋＋ B.≠＋ C.＝＋＋ D.＝2－ 解析：A中，因为＋＋＝1，所以M，A，B，C四点共面；B中，≠＋，但可能＝λ＋μ，所以M，A，B，C四点可能共面；D中，因为＝2－，所以M，A，B，C四点共面． 答案：C 3．在空间四点O，A，B，C中，若{，，}是空间的一个基底，则下列命题不正确的是(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 解析：选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量，，共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则，，共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则，，构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量，，构不成基底． 答案：B 4．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC的中点，则为(　　) A.a－b＋c　　　　　　 B．－a＋b＋c C.a＋b－c D.a＋b－c 解析：＝＋＋ ＝＋－＋(－) ＝－＋＋ ＝－a＋b＋c. 答案：B 5．在正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，′＝x＋y＋z，则x，y，z的值是(　　) A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝ C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2 解析：′＝′＋＋＝(＋)＋(′＋)＋(′＋) ＝＋′＋′ ＝＋＋，即x＝y＝z＝1. 答案：A 6．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________． 答案：x＝y＝z＝0 7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________，y＝________. 解析：∵m，n共线，∴∃λ∈R，使m＝λn， ∴a－b＋c＝λ(xa＋yb＋2c)，得 解得 答案：2　－2 8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，A1C1与B1D1的交点为E，则＝________. 答案：－a＋b＋c 9．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示，； (2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值． 解析：(1)如图，＝＋＝－＋－＝a－b－c， ＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)． (2)＝(＋) ＝(－＋) ＝(－c＋a－b－c) ＝a－b－c， ∴x＝，y＝－，z＝－1. 10．如图所示，已知四面体ABCD的各棱和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点． (1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求MN的长． 解析：(1)证明：设＝p，＝q，＝r， 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量的两两夹角均为60°. ＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)， ·＝(q＋r－p)·p＝(p·q＋p·r－p2) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0， ∴⊥，即MN⊥AB，同理可证MN⊥CD. (2)由(1)可知＝(q＋r－p)， ∴||2＝(q＋r－p)2 ＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)] ＝ ＝×2a2＝， ∴|MN|＝a， ∴MN的长为a. B层(关键能力练) 11．给出下列命题： ①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底； ②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底； ③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面； ④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底． 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面．又，，过相同点B，知A，B，M，N四点共面，所以③正确．下面证明①④正确：假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k