§2 2.1 第1课时 等差数列（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（北师大版）

授课提示：对应学生用书第81页 [A组　基础练] 1．(多选题)下列通项公式中，是等差数列的是(　　) A．an＝2　　　　　　　　 B．an＝8－3n C．an＝log37n D．an＝n2－3n 解析：由等差数列的定义可知，A项中的数列是公差为0的等差数列；B项中的数列是公差为－3的等差数列；C项中的数列是公差为log37的等差数列；D项中的数列，由通项公式知，a1＝－2，a2＝－2，a3＝0，而a2－a1≠a3－a2，所以该数列不是等差数列． 答案：ABC 2．等差数列{3n－2}与等差数列{5－2n}的公差之和为(　　) A．1 B．2 C．3 D．8 解析：∵等差数列{3n－2}的公差为3， 等差数列{5－2n}的公差为－2， ∴等差数列{3n－2}与等差数列{5－2n}的公差之和为3－2＝1. 答案：A 3．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是(　　) A．公差为1的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为－的等差数列 D．不是等差数列 解析：由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝，所以数列{an}是公差为的等差数列． 答案：B 4．等差数列{an}中，a2＝4，a3＝5，则a8＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：等差数列{an}中，a2＝4，a3＝5， ∴ 解得a1＝3，d＝1， ∴a8＝a1＋7d＝3＋7＝10. 答案：D 5．已知{an}为等差数列，首项为，它从第10项开始比1大，那么公差d的取值范围是(　　) A．d> B．d< C.<d< D.<d≤ 解析：由题可得a1＝，且 根据等差数列的通项公式可得 从而解得<d≤. 答案：D 6．已知数列{an}是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则公差d＝________. 解析：由题意可得a1＋3d＝2(a1＋2d)，即2＋3d＝2(2＋2d)，解得d＝－2. 答案：－2 7．已知等差数列{an}满足a2＝3a4－8，则a5＝________. 解析：因为a2＝3a4－8， 所以a1＋d＝3a1＋9d－8， 即a1＋4d＝4， 所以a5＝a1＋4d＝4. 答案：4 8．在等差数列{an}中， (1)已知a1＝5，d＝2，求a10； (2)已知a1＝3，d＝4，an＝59，求n； (3)已知d＝，a28＝14，求a1； (4)已知a5＝21，a10＝36，求a1和d. 解析：(1)a10＝a1＋(10－1)d＝5＋9×2＝23. (2)∵an＝a1＋(n－1)d， ∴59＝3＋4(n－1)，解得n＝15. (3)∵a28＝a1＋27d， ∴a1＝a28－27d＝14－27×＝－6. (4)由解得 9．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析：(1)证明：由an＋1＝3an＋3n，两边同时除以3n＋1， 得＝＋，即－＝. 由等差数列的定义知，数列是以＝为首项，为公差的等差数列． (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝， 故an＝n·3n－1，n∈N＋. [B组　能力练] 10．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为(　　) A．21 B．22 C．23 D．24 解析：公差d＝a2－a1＝－4， ∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n. 令即即21<n≤22. 又∵n∈N＋，∴n＝22. 答案：B 11．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 解析：设此等差数列为{an}，公差为d， 则 ∴解得 ∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝. 答案： 12．已知等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，那么等差数列{an}的通项公式为an＝________. 解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a10＝30，a20＝50， ∴a1＋9d＝30，a1＋19d＝50， 联立解得a1＝12，d＝2， 那么等差数列{an}的通项公式为an＝12＋2(n－1)＝2n＋10. 答案：2n＋10 13．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋)． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析：(1)证明：由＝ ＝＝＝ ＝＋，得－＝，n∈N＋， 故数列是等差数列． (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝， 所以an＝，n∈N＋. [C组　培优练] 14．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个