1.4.2 向量线性运算的坐标表示（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（湘教版）

A层(必备知识练) 1．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　) A．2i＋3j　　　　　　　　 B．4i＋2j C．2i－j D．－2i＋j 解析：记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j. 答案：C 2．已知向量a，b满足：a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为(　　) A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0) C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0) 解析：∵a＋b＝(1,3)，① a－b＝(3，－3)，② ∴①＋②得：a＝(2,0)． ①－②得：b＝(－1,3)． 答案：C 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　) A. B. C．1 D．2 解析：由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝. 答案：B 4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，则用a，b表示c为(　　) A．c＝a＋b B．c＝a＋2b C．c＝－a＋2b D．c＝a－2b 解析：设c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则(3,4)＝λ(1,2)＋μ(2,3)＝(λ＋2μ，2λ＋3μ)， ∴解得 ∴c＝－a＋2b. 答案：C 5．已知O为坐标原点，A(－1,3)，B(2，－4)，＝2＋m，若点P在y轴上，则实数m＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．－2 解析：由已知可得＝(2m－2,6－4m)．∵点P在y轴上，∴2m－2＝0，∴m＝1. 答案：B 6．设向量绕点O逆时针旋转得向量，且2＋＝(7,9)，且向量＝________. 解析：设＝(m，n)，则＝(－n，m)， 所以2＋＝(2m－n,2n＋m)＝(7,9)，即解得因此＝. 答案： 7．已知＝，且点B(－1,5)，则点C的坐标为________． 解析：因为＝，即－＝－， 所以＝＝(－1,5)． 答案：(－1,5) 8．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为________． 解析：因为ma＋4b＝m(2,3)＋4(－1,2)＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)，向量ma＋4b与a－2b共线，所以－(2m－4)＝4(3m＋8)，解得m＝－2. 答案：－2 9．已知O是坐标原点，＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，试求实数k为何值时，A，B，C三点共线． 解析：＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(10－k，k－12)． 又A，B，C三点共线， 所以∥，所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 解得k＝－2或k＝11. 所以当k＝－2或11时，A，B，C三点共线． 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°， ∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形． (1)求向量a，b的坐标； (2)求向量的坐标； (3)求点B的坐标． 解析：(1)作AM⊥x轴于点M， 则OM＝OAcos 45°＝4×＝2， AM＝OAsin 45°＝4×＝2， 所以A(2，2)，故a＝(2，2)． 因为∠AOC＝180°－105°＝75°， 所以∠COx＝120°. 又OC＝AB＝3，所以C， 所以＝＝， 即b＝. (2)＝－＝. (3)＝＋＝(2，2)＋＝， 故点B的坐标为. B层(关键能力练) 11．(多选题)已知向量e1＝(－1,2)，e2＝(2,1)，若a＝λ1e1＋λ2e2，则可使λ1λ2＜0成立的a可能是(　　) A．(1,0) B．(0,1) C．(－1,0) D．(0，－1) 解析：由λ1e1＋λ2e2 ＝(－λ1,2λ1)＋(2λ2＋λ2) ＝(－λ1＋2λ2,2λ1＋λ2)＝a， 验证使λ1λ2＜0成立的只有a＝(1,0)或a＝(－1,0)． 答案：AC 12．已知a－b＝(3，－1)，b＝(1，－2)，若向量－2a＋mb与向量a－b平行，则实数m＝(　　) A．－4 B．－2 C．4 D．2 解析：∵a＝a－b＋b＝(4，－3)，∴－2a＋mb＝(m－8,6－2m)．∵－2a＋mb与a－b平行，∴－(m－8)－3(6－2m)＝0，解得m＝2. 答案：D 13．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则实数a的值为________． 解析：设C(x0，y0)，则y0＝ax0. ∴＝，＝. ∵＝2， ∴ ∴ 答案：2 14．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，－2)，点P满足＝－3，则点P的坐标为_______