1.4.1 向量分解及坐标表示（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（湘教版）

A层(必备知识练) 1.如图所示，向量a－b＝(　　) A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解析：由题图可得a＝－3e2，b＝－e1，所以a－b＝e1－3e2. 答案：C 2．(多选题)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是(　　) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对 C．若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若存在实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 解析：由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确．对于C，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故C说法不正确． 答案：BC 3．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则＝(　　) A．a＋λb　　　　　　　　B．λa＋(1－λ)b C．λa＋b D.a＋b 解析：∵＝λ，∴－＝λ(－)， ∴(1＋λ)·＝＋λ，∴＝＋＝a＋b. 答案：D 4.如图所示，在平行四边形ABCD中，点E，F满足＝2，＝2，EF与AC交于点G，设＝λ，则λ＝(　　) A. B. C. D. 解析：因为E，G，F三点共线，所以存在实数m，使得＝m＋(1－m)＝＋， 设＝μ，则＝μ＋μ， 由平面向量基本定理可得解得 所以＝，即＝，即λ＝. 答案：C 5．如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________，＝________，＝________. 解析：由题意知＝－＝－(－1，－1)＝(1,1)，由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以＝(1，－1)， 同理＝(－1,1)． 答案：(1，－1)　(1,1)　(－1,1) 6．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，试用m，n表示p的结果是________． 解析：设p＝x m＋y n，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b.由平面向量基本定理， 得⇒ 所以p＝－m＋n. 答案：p＝－m＋n 7.如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ， 则λ＋μ的值为________． 解析：由题意，得＝(＋)．又＝＝－，所以＝(－＋2)＝－＋.又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝－＋1＝. 答案： 8．已知e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，a＝e1＋e2，b＝3e1－e2，c＝5e1＋e2，试用向量a和b表示c. 解析：由题意，可知a，b不共线，∴可设c＝λa＋μb，则λa＋μb＝λ(e1＋e2)＋μ(3e1－e2)＝(λ＋3μ)e1＋(λ－μ)e2. ∵e1，e2不共线，c＝5e1＋e2，∴解得 ∴c＝2a＋b. 9．如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基a，b表示向量. 解析：易得＝＝b，＝＝a， 由N，E，B三点共线可知，存在实数m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a. 由C，E，M三点共线可知，存在实数n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b. 所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，由于a，b为基，所以解得m＝，n＝，所以＝a＋b. B层(关键能力练) 10．(多选题)在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是(　　) A.＝2i＋3j B.＝3i＋4j C.＝－5i＋j D.＝5i＋j 解析：＝2i＋3j，故A正确.＝－3i＋4j，故B错误.＝－5i＋j，故C正确，D错误． 答案：AC 11.如图，在△ABC中，设＝a，＝b， AP的中点为Q，BQ的中点为R， CR的中点为P，若＝ma＋nb，则m＋n＝(　　) A. B. C. D．1 解析：由题意可得＝2，＝2， ＝a＝＋＝＋2，① ＝＋＝＋＝＋－＝＋－＝－＝b，② 由①②求得＝a＋b. 再由＝ma＋nb可得m＝，n＝，m＋n＝. 答案：C 12.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用了勾股定理，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的， 若＝a，＝b，E为BF的中点，则＝(　　) A.a＋b　　　　　　　 B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析： 设BE＝m，则AE＝BF＝2BE＝2m，在Rt△ABE中，可得AB＝m.