1.6.2 正弦定理（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（湘教版）

A层(必备知识练) 1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列关系式中一定成立的是(　　) A．a＞bsin A　　　　　　　　 B．a＝bsin A C．a＜bsin A D．a≥bsin A 解析：由正弦定理＝，得a＝. 在△ABC中，∵0＜sin B≤1，∴≥1，∴a≥bsin A. 答案：D 2．(多选题)下列有关正弦定理的叙述中不正确的是(　　) A．正弦定理只适用于锐角三角形 B．正弦定理不适用于直角三角形 C．在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦值的比是定值 D．在△ABC中，A∶B∶C＝a∶b∶c 解析：因为正弦定理适用于任意三角形，故A，B不正确；由正弦定理，有＝＝＝2R，因为三角形确定，所以其外接圆半径R为定值，故C正确；D显然不正确． 答案：ABD 3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，则△ABC的外接圆半径是(　　) A. B．3 C．3 D．6 解析：△ABC的外接圆直径2R＝＝＝6，∴R＝3. 答案：B 4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝(　　) A. B. C. D. 解析：因为asin Asin B＋bcos2A＝a， 所以由正弦定理可得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A. 整理得sin B(sin2A＋cos2A)＝sin B＝sin A，则由正弦定理得＝＝. 答案：B 5．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则B的大小为(　　) A. B. C. D. 解析：由＝及＝，可得sin B＝cos B．又0＜B＜π，所以B＝. 答案：B 6．若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC＝________. 解析：由已知得△ABC的面积为AB·ACsin A＝20·sin A＝10， 所以sin A＝， 因为A∈，所以A＝. 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝49，所以BC＝7. 答案：7 7．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为________． 解析：由余弦定理得， BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A， 因为A＝120°，AB＝5，BC＝7，所以得49＝25＋AC2＋5AC， 即AC2＋5AC－24＝0， 解得AC＝3或－8(舍去)． 所以AC＝3.所以＝＝. 答案： 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝，b＝，B＝45°，求角C. 解析：由＝得＝， 解得sin A＝， 所以A＝60°或A＝120°， 因为120°＋45°<180°， 所以A＝120°也符合要求． 当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°， 当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°. 9．已知在△ABC中，bsin B＝csin C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 解析：由正弦定理＝＝＝2R得sin A＝，sin B＝，sin C＝. ∵bsin B＝csin C，∴b·＝c·， ∴b2＝c2，∴b＝c. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴2＝2＋2， ∴a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°， ∴△ABC为等腰直角三角形． B层(关键能力练) 10．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B＝(　　) A．30° B．150° C．60° D．120° 解析：由正弦定理＝，得sin B＝＝＝.又b＞a,0°＜B＜180°，所以B＝60°或B＝120°. 答案：CD 11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为(　　) A. B．π C．2π D．4π 解析：在△ABC中，A＝75°，B＝45°，所以C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得2R＝＝＝2，解得R＝1，故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π. 答案：B 12．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C＝________. 解析：由3sin A＝5sin B及正弦定理，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b， 所以cos C＝＝＝－. 因为C∈(0，π)，所以C＝. 答案： 13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________. 解析：∵tan A＝2，∴cos A＝. ∵sin2A＋2＝1，A∈(0，