1.6.1 余弦定理（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（湘教版）

A层(必备知识练) 1．在△ABC中，c2－a2－b2＝ab，则C为(　　) A．30°　　　　　　　　　　　B．60° C．150° D．45°或135° 解析：由已知得a2＋b2－c2＝－ab， 由余弦定理的推论，得cos C＝＝－. 因为0°＜C＜180°，所以C＝150°. 答案：C 2．在△ABC中，cos B＝(a，b，c分别为A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：因为cos B＝，由余弦定理得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形． 答案：A 3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acos A，则b等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：由题意可设a＝b＋1，c＝b－1. ∵3b＝20acos A， ∴3b＝20(b＋1)·， 整理得7b2－27b－40＝0， 解得b＝5或b＝－(舍)． 答案：A 4．在△ABC中，已知C＝，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－13x＋40＝0的两根，则AB的长度为(　　) A．2 B．4 C．6 D．7 解析：∵a，b是方程x2－13x＋40＝0的两根，∴a＝5，b＝8或a＝8，b＝5.由余弦定理得AB2＝a2＋b2－2abcos C＝25＋64－2×8×5×＝49，则AB＝7. 答案：D 5．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则(　　) A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定 解析：由余弦定理，知c2＝a2＋b2－2abcos C，则2a2＝a2＋b2＋ab，即a2＝b2＋ab，则2＋－1＝0，所以＝＜1，所以a＞b. 答案：A 6．在△ABC中，若a＝2bcos C，则△ABC的形状为________． 解析：因为a＝2bcos C＝2b·＝， 所以a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c， 所以△ABC为等腰三角形． 答案：等腰三角形 7．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则cos A＝________，AC边上的中线长为________． 解析：由条件，得cos A＝＝＝.设中线长为x，由余弦定理，得x2＝2＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，即x＝7.所以AC边上的中线长为7. 答案：　7 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝，cos A＝－，则b的值为________． 解析：由余弦定理可得cos A＝－＝＝，整理可得b2＋b－2＝0，解得b＝1或b＝－2(舍去)． 答案：1 9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. (1)求a，c的值； (2)求sin A的值． 解析：(1)因为cos B＝＝， 所以＝， 将a＋c＝6，b＝2代入，得ac＝9， 则a＝c＝3. (2)由cos B＝得sin B＝， 由余弦定理得 cos A＝＝＝， 所以sin A＝. 10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac. (1)求cos B的值； (2)若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值． 解析：(1)由(a－c)2＝b2－ac， 可得a2＋c2－b2＝ac. 所以＝， 即cos B＝. (2)因为b＝，cos B＝. 由余弦定理得b2＝13＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac，又a＋c＝2b＝2， 所以13＝52－ac， 解得ac＝12. B层(关键能力练) 11．(多选题)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则B的值为(　　) A. B. C. D. 解析：由×tan B＝1， 知×＝1， ∴sin B＝，∴B＝或. 答案：AC 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝6，c＝4，sin＝，则b＝(　　) A．9 B．36 C．6 D．6 解析：∵sin ＝，∴cos B＝1－2sin2＝1－2×2＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝62＋42－2×6×4×＝36，解得b＝6. 答案：D 13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，则bccos A＋accos B＋abcos C的值是________． 解析：∵cos A＝，∴bccos A＝(b2＋c2－a2)， 同理accos B＝(a2＋c2－b2)，abcos C＝(a2＋b2－c2)， ∴bccos A＋accos