1.5.2 数量积的坐标表示及其计算（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（湘教版）

A层(必备知识练) 1．已知a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，则a，b夹角的余弦值等于(　　) A．－　　　　　　　　　　　 B．－ C. D. 解析：∵a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，∴b＝[a－(a－2b)]＝(1，－2)，∴a·b＝2－8＝－6.设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cos θ＝2××cos θ＝10cos θ，∴10cos θ＝－6，∴cos θ＝－. 答案：B 2．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在上的投影向量的模为(　　) A. B．－3 C．－ D．3 解析：已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)， 可得＝(5,5)，||＝5， ·＝2×5＋1×5＝15， 则向量在上的投影向量的模为＝＝. 答案：A 3．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k＝(　　) A．－1＋ B．－2 C．－1± D．1 解析：∵|ka－b|＝，|a＋b|＝＝，(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，ka－b与a＋b的夹角为120°，∴cos 120°＝，即－＝，化简并整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±. 答案：C 4．已知向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝2，则n·＝(　　) A．2 B．－2 C．7 D．－7 解析：n·＝n·(＋)＝n·＋n·＝6－1＋2＝7. 答案：C 5．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝(　　) A. B. C. D．(1,0) 解析：设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝x＋y＝.由解得即b＝. 答案：B 6．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________. 解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴b＝(2,4)，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝. 答案： 7．若a·b＝39，b＝(12,5)，则a在b上的投影向量是________． 解析：∵b＝(12,5)，∴与b方向相同的单位向量e＝， ∴a在b上的投影向量为|a|cos θ e＝e＝3e＝. 答案： 8．在OA为边、OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________. 解析：如图所示，由于＝(－3,1)，＝(－2，k)，所以＝－＝(1，k－1)．在矩形中，由⊥得·＝0，所以(－3,1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4. 答案：4 9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)． 解析：法一：∵a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8， a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13， ∴(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2＝3×5－7×8＋2×13＝－15. 法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)， ∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)． a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)， ∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15. 10．已知向量a＝(1,1)，b＝(－3,4)． (1)求|a－b|的值； (2)求向量a与a－b夹角的余弦值． 解析：(1)因为a－b＝(4，－3)， 所以|a－b|＝5. (2)由(1)知a·(a－b)＝(1,1)·(4，－3) ＝1×4＋1×(－3)＝1，|a|＝，|a－b|＝5， 所以cos〈a，a－b〉＝ ＝＝. B层(关键能力练) 11．(多选题)设向量a＝(k,2)，b＝(1，－1)，则下列叙述错误的是(　　) A．若k＜－2，则a与b的夹角为钝角 B．|a|的最小值为2 C．与b共线的单位向量只有一个，为 D．若|a|＝2|b|，则k＝2或－2 解析：由a＝(k,2)，b＝(1，－1) ∴cos θ＝.当k＜2时， cos θ＜0且cos θ≠－1，故A正确． |a|＝， ∴|a|的最小值为2，B正确． 与b共线的单位向量有无数个，C错误．当|a|＝2|b|时，k＝±2，故D错误． 答案：CD 12．已知a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则(a－b)·c的取值范围是(　　) A．[0,1] B．[－1,1] C．[－，] D．[0，] 解析：由a，b为单位向量和|a＋b|＝1的几何意义，可知|a－b|＝，设a－b与c的夹角为θ，则(a－b)·c＝|a－b||c|·cos θ＝cos θ，∵cos θ∈[－1,1]，∴(a－b)·c的取值范围为[－，]． 答案：C 13．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝(＋)，则||＝________；·＝______