6.4 6.4.1 6.4.2 向量在物理中的应用举例（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（人教A版）

A层(必备知识练) 1．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，需再加上一个力f4，则f4＝(　　) A．(－2，－2)　　　　　　 B．(2，－2) C．(－1,2) D．(－2,2) 解析：由物理知识，知物体平衡，则所受合力为0，所以f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(－2,2)． 答案：D 2．在△ABC中，设O是△ABC的外心，且＝＋，则∠BAC＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：因为＝＋，所以O也是△ABC的重心．又因为O是△ABC的外心，所以△ABC是等边三角形，故∠BAC＝60°. 答案：C 3．若一条河的宽度为d，一艘船从A处出发到河的正对岸B处，船速为v1，水速为v2，则行驶航程最短时，行驶速度的大小为(　　) A．v－v B．|v1|2－|v2|2 C. D. 解析：如图所示，由平行四边形法则和直角三角形的相关知识可知|v|2＝|v1|2－|v2|2. 答案：D 4.过△ABC内部一点M任作一条直线EF，AD⊥EF于D，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，都有＋＋＝0，则点M是△ABC的(　　) A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三边中垂线的交点 D．三个内角平分线的交点 解析：根据特殊位置法，可以判断，当直线EF经过C点时，＋＋＝0，即为＋＝0，于是||＝||，EF即为AB边上的中线，同理，当EF经过A点时，EF是BC边上的中线，当EF经过B点时，EF是AC边上的中线，因此，点M是△ABC的三条中线的交点． 答案：B 5．已知P为△ABC内部任一点(不包括边界)，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC一定为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 解析：由题意，·(＋)＝0，即AB边上的中线与AB垂直， ∴该三角形是等腰三角形． 答案：D 6．一条渔船距对岸4 km，以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为8 km，则河水的流速是________ km/h. 解析：如图， 用v1表示河水的流速，v2表示船的速度，则v＝v1＋v2为船的实际航行速度． 由图知，||＝4，||＝8，则∠AOB＝60°.又|v2|＝2， ∴|v1|＝|v2|·tan 60°＝2，即河水的流速是2 km/h. 答案：2 7．作用于同一点的两个力F1，F2的夹角为，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2的大小为________． 解析：|F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝32＋2×3×5×cos ＋52＝19， 所以|F1＋F2|＝. 答案： 8．已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于点F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC. 证明：如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 设A(0,2)，C(2,0)， 则D(1,0)，＝(2，－2)． 设＝λ，则＝＋＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)．又＝(－1,2)，由题设BF⊥，所以·＝0，所以－2λ＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝. 所以＝.所以＝－＝.又＝(1,0)． 所以cos∠ADB＝＝，cos∠FDC＝＝， 又∠ADB，∠FDC∈(0，π)，所以∠ADB＝∠FDC. 9．有一艘在静水中速度为10 km/h的船，现船沿与河岸成60°角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设两岸平行，流速均匀． (1)设船相对于河岸和静水的速度分别为u km/h，v km/h，河水的流速为w km/h，求u，v，w之间的关系式； (2)求这条河河水的流速． 解析：(1)如图，u是垂直到达河对岸方向的速度，v是与河岸与60°角的静水中的船速，则v与u的夹角为30°. 由题意知，u，v，w三条有向线段构成一个直角三角形， 其中＝v，＝u，＝＝w. 由向量加法的三角形法则知，＝＋，即u＝w＋v. (2)∵|v|＝10 km/h，而||＝||sin 30°＝10×＝5 km/h， ∴这条河河水的流速为5 km/h，方向顺着河岸向下． B层(关键能力练) 10．O是△ABC内的一定点，P是△ABC内的一动点，若(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝0，则O为△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 解析：因为(－)·(＋)＝0， 则(－)·(＋)＝0，所以2－2＝0， 所以||＝||. 同理可得||＝||，即||＝||＝||， 所以O是△ABC的外心． 答案：B 11.(多选题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻