解三角形专题：中线、角平分线、高线问题-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）

平面向量专题：中线、角平分线、高线问题 一、中线 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 推导过程：在中，， 在中， 联立两个方程可得： 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 推导过程：由， 则 所以 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 二、角平分线 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 推导过程：在中，， 在中，，， 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比， 再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题， 运用向量知识解决起来都较为简捷。 3、等面积法： 因为， 所以， 所以 整理的：（角平分线长公式） 三、垂线 1、分别为边上的高，则 2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。 题型一 与中线有关的解三角形问题 【例1】已知中，角，，的对边分别为，，，且满足，， （1）求证：； （2）若边上中线，求的面积． 【变式1-1】已知在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，为的中点，的面积为，求的长． 【变式1-2】已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，且边上的中线长为，求． 【变式1-3】在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）若，，求边上的中线的长． 【变式1-4】在中，角、、的对边分别为、、，． （1）求角的大小； （2）若，求边的中线长度的最小值． 【变式1-5】如图：在中，，，． （1）求角； （2）设为的中点，求中线的长． 题型二 与角平分线有关的解三角形问题 【例2】在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长． 【变式2-1】在中，角，，的对边分别为，，，已知， （1）若，求的值； （2）若的平分线交于，且，求的最小值。 【变式2-2】在中，角，，的对边分别是，，，且满足. （1）求角； （2）设为边AB上的点，平分，且，若与的面积比，求的长. 【变式2-3】已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若角的角平分线交于点，，，求和的长度． 【变式2-4】在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足， （1）求角的余弦值； （2）若，角的平分线交于点，求的长度。 【变式2-5】△ABC中，AB＝2AC，点D在BC边上，AD平分∠BAC． （1）若sin∠ABC，求cos∠BAC； （2）若AD＝AC，且△ABC的面积为，求BC． 题型三 与高线有关的解三角形问题 【例3】在中，，，，求： （1）角； （2）边上的高． 【变式3-1】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A. （2）若，边上的高为3，求c. 【变式3-2】设的内角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若边上的高为，求． 【变式3-3】在中，角，，的对边分别为，，，且，三角形三边上的高之比为. （1）求的值； （2）若为边上一点，，，求的长. 【变式3-4】中，角，，的对边分别为，，，边上的高为. （1）求； （2）若的周长为4，求边的长. 【变式3-5】在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求； （2）若，的外接圆半径为，求的边上的高. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量专题：中线、角平分线、高线问题 一、中线 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 推导过程：在中，， 在中， 联立两个方程可得： 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 推导过程：由， 则 所以 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 二、角平分线 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 推导过程：在中，， 在中，，， 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比， 再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题， 运用向量知识解决起来都较为简捷。 3、等面积法： 因为， 所以， 所以 整理的：（角平分线长公式） 三、垂线 1、分别为边上的高，则 2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相