平面向量专题：极化恒等式的应用-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）

平面向量专题：极化恒等式的应用 一、极化恒等式及其推论： 1、极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2] （1）公式推导： （2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 2、平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． 3、三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． （1）推导过程：由. （2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决． （3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． 二、极化恒等式的作用和使用范围 1、极化恒等式的作用： 建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 2、极化恒等式的适用范围： （1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； （2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移， 等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。 三、极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积， 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小 或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边 或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。 题型一 平面向量数量积的定值问题 【例1】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4， ·＝－1则·的值是____． 【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝________． 【变式1-2】如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5， 若·＝－7，则·的值是____． 【变式1-3】如图，在中，已知，点分别在边上，且，若为的中点，则的值为________. 【变式1-4】在边长为1的正三角形ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于( ) A． B． C． D． 【变式1-5】如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是( ) A．44 B．22 C．24 D．72 题型二 平面向量数量积的最值范围问题 【例2】(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( ) A．－2 B．－ C．－ D．－1 【变式2-1】已知为圆的直径，为圆的弦上一动点，，，则的取值范围是 ． 【变式2-2】已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为____________ 【变式2-3】矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别为边BC，CD上的动点，且 MN＝2，则·的最小值为________． 【变式2-4】在 正三角形ABC 中，点E，F是线段AB,AC的中点，点P在直线EF上，若三角形ABC的面积为2，则的最小值是 【变式2-5】在中，，，，是的中点，，分别是边、上的动点，且，则的最小值等于 . 题型三 利用极化恒等式求参数 【例3】设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB,且对于边AB上任一点P，恒有,则三角形ABC形状为_______. 【变式3-1】已知A(0,1)，曲线恒过点B，若P是曲线C上的动点，且的最小值为2，则______ 【变式3-2】在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且 MN＝1，若的最小值为，则cos∠ACB＝________． 【变式3-3】已知线段AB的长为2，动点C满足·＝λ（λ为常数），且点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则负数λ的最大值为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量专题：极化恒等式的应用 一、极化恒等式及其推论： 1、极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2] （1）公式推导：