6.4.3.3正余弦定理应用举例(典例精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高一下学期数学同步精讲+检测(人教A版2019必修第二册)

6.4.3.3正余弦定理应用举例 本节课知识点目录: 1、 求角度; 2、 求距离。 3、 仰角与俯角 4、 求高度 5、综合 -典例精讲 一、正余弦定理应用1:求角度 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的水平角.如南偏西60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. (如图所示) 【典型例题】 【例1】今年第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区.如图,点,正北方向的市受到台风侵袭,一艘船从点出发前去实施救援,以的速度向正北航行,在处看到岛在船的北偏东方向,船航行后到达处,在处看到岛在船的北偏东方向.此船从点到市航行过程中距离岛的最近距离为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】构造三角形运用正弦定理求解三角形即可得出结果. 【详解】如图,中,,,,, 由正弦定理得, 所以船与岛的最近距离: 故选:C. 【例2】.“一带一路”国际合作高峰论坛(于2017年5月14日至15日)在北京举行,会议期间达成了多项国际台作协议,其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头,如图所示,工程师为了了解深水港码头海域海底的构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量.已知AB=60m,BC=120m,于A处测得水深AD=120m,于B处测得水深BE=200m,于C处测得水深CF=150m,则cos∠DEF=_. 【答案】 【分析】先利用勾股定理分别求得,进而利用余弦定理求得结果 【详解】如图,作∥交于,交于,则 , , , 在中,由余弦定理得 , 故答案为: 【例3】甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处,乙船以每小时a海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时a海里,问甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇? 解 如图所示.设经过t小时两船在C点相遇, 则在△ABC中,BC=at(海里),AC=at(海里), B=180°-60°=120°, 由=,得 sin∠CAB====, ∵0°<∠CAB<60°,∴∠CAB=30°, ∴∠DAC=60°-30°=30°, ∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇. 【例4】如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】B 【分析】利用余弦定理直接求解即可 【详解】依题意可得AD=20,AC=30, 又CD=50,所以在△ACD中, 由余弦定理得cos∠CAD= ===, 又0°<∠CAD<180°, 所以∠CAD=45°, 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 故选:B 二、正余弦定理应用2:求距离 【典型例题】 【例1】如图,一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B,又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛,若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛,则此船沿_方向行驶_海里至海岛C( ) A.北偏东; B.北偏东; C.北偏东; D.北偏东; 【答案】C 【分析】先求出各角的角度,再使用余弦定理求解长度. 【详解】由题意得:,,故,所以从A到C的航向为北偏东,由余弦定理得:,故.故选:C 【例2】如图所示,为了测量湖中A、B两处亭子间的距离,湖岸边现有相距100米的甲、乙两位测量人员,甲测量员在D处测量发现A亭子位于西偏北,B亭子位于东北方向,乙测量员在C处测量发现B亭子位于正北方向,A亭子位于西偏北方向,则A,B两亭子间的距离为( ) A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】C 【分析】由条件解求,在中利用正弦定理解求,在中利用余弦定理求AB,由此可得A,B两亭子间的距离. 【详解】由题意,可得, ∴ .在等腰直角中, ∴ ,.在中,由正弦定理得,解得.连接AB. 在中,由余弦定理可得, 解得,即A、B两个亭子之间的距离为米. 故选:C. 【例3】如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为( ) A.6(3+)m B.6(3-)m C.6(3+2)m D.6(3-2)m 【答案】B 【分析】在Rt△BCD中,根据∠CBA=60°,用BD表示出CD,在Rt△ACD中,∠CAB=45°,得到CD=AD,根据AD+BD=12,求出BD,计算出CD,得到答案. 【详解】在Rt△BCD中,∠CBA=60°,∵tan∠CBD=,∴CD=BD•tan∠CBD=BD, 在Rt△ACD中,∠CAB=45°,则CD=AD,∵AB=AD+BD=12, ∴BD+BD=12, 解得BD=6﹣6,CD=BD=18﹣6.故选:B 【例4】某日,我渔政船在东海某海域巡航,已知该船正以海里/时的速度向正北方向航行,该