第05讲 二项式定理-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

第05讲 二项式定理 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1. 理解二项式定理的概念，会用二项式定理求解二项展开式； 2. 掌握二项式系数的规律和指数的变化规律. 3. 掌握多项式展开式的通项及特殊项或系数. 通过本节课的学习，要求能运用二项式定理求解二项展开式，会求展开式中的二项式系数，特殊项及特殊项系数，能用待定法求展开式中的待定系数.能解决与二项式定理相关的综合问题. ( 知识精讲 ) 知识点 1. 二项式定理及基本概念： （1）二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式. （2）二项式系数:展开式中各项的系数. （3）项数：共项，是关于与的齐次多项式. （4）通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示. 【微点拨】 ①项数：展开式中总共有项。 ②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。 ③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等 于. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。 2.“杨辉三角”与二项式定理的性质： （1）二项式系数的对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即， （它反映了组合数的性质：），直线 将函数 的图象分成 对称的两部分，它是图象的对称轴. （2）二项式系数和：令,则二项式系数的和为 ， 变形式。 （3）奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令，则， 从而得到： （4）奇数项的系数和与偶数项的系数和： （5）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项 系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。 3.常用结论： 令 令 令,则二项式系数的和为， 变形式. 【微点拨】 1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和k的隐含条件，即n，k均为非负整数，且n≥k， 如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项. 2.求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 3.解题技巧与方法总结 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 4.整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项． 5. 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数. 6. 运用二项式定理的解题策略 (1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开. (2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 提醒:逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的,则是的形式. 二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式． 【即学即练1】的展开式的第8项的系数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 结合二项式的展开式的通项公式得到，令，即可求出结果. 【详解】 由题意得，令，得，所以的展开式的第8项的系数是． 故选：C． 【即学即练2】若，则等于( ) A．284 B．356 C．364 D．378 【答案】C 【解析】 【分析】 利用赋值法列出关于系数的方程组即可求解﹒ 【详解】 令，则①， 令，则②， ①②两式左、右分别相加，得， ∴，再令，则， ∴． 故选：C﹒ 【即学即练3】若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ） A．90 B．-90 C．