1.4线段的垂直平分线(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(北师大版)

1.4线段的垂直平分线 线段的垂直平分线 定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 注意： 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件． 题型1：垂直平分线的性质求线段长度 1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为D，BE＝6cm，∠AEC＝30°，则AC等于（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【分析】根据线段垂直平分性质求出BE＝AE＝6cm，再根据含30°角的直角三角形性质求出AC的长即可． 【解答】解：∵DE垂直平分AB，BE＝6cm， ∴BE＝AE＝6cm， ∵∠C＝90°，∠AEC＝30°， ∴Rt△ACE中，AC＝AE＝×6＝3（cm）， 故选：D 【变式1-1】如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E．若AD＝3，△ACE的周长为8，则△ABC的周长为（　　） A．11 B．13 C．14 D．19 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，AB＝2AD＝6，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB，AB＝2AD＝6， ∵△ACE的周长为8， ∴AC+CE+EA＝8， ∴AC+CE+EB＝AC+CB＝8， ∴△ABC的周长＝AC+CB+AB＝8+6＝14， 故选：C 【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，DE是BC的垂直平分线． （1）求△ABE的周长； （2）求线段DE的长． 【分析】（1）由垂直平分线的性质结合三角形的周长公式计算可求解； （2）由勾股定理可求解BE，BC的长，再利用线段垂直平分线的性质可求得BD的长，再根据勾股定理可求解． 【解答】解：（1）∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE＝CE， ∵AB＝6，AC＝8， ∴△ABE的周长为：AB+AE+BE＝AB+AE+CE＝AB+AC＝6+8＝14； （2）在Rt△ABE中，AE2+AB2＝BE2， 即（8﹣BE）2+62＝BE2， 解得：BE＝， 在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2， 即BC2＝62+82＝100， 解得：BC＝10， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD＝5，∠BDE＝90°， 在Rt△BDE中，BD2+DE2＝BE2， 即52+DE2＝（）2， 解得：DE＝ 题型2：垂直平分线求角度 2.如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（　　） A．40° B．44° C．48° D．52° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，结合图形计算即可． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝114°， 则∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°， ∵EG是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∴∠EAB＝∠B， 同理：∠FAC＝∠C， ∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°， ∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°， 故选：C 【变式2-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点D，则∠DAC的度数为 　18°　． 【分析】由线段垂直平分线的性质可求解∠BAD＝36°，根据直角三角形的性质可求得∠BAC的度数，进而可求解∠CAD的度数． 【解答】解：∵AB的垂直平分线DE， ∴AD＝BD， ∵∠B＝36°， ∴∠BAD＝∠B＝36°， ∵∠C＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣36°＝54°， ∴∠DAC＝54°﹣36°＝18°． 故答案为：18° 【变式2-2】如图所示，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，求∠C的度数． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C， ∴∠FAC＝∠EAC+19°， ∵AF平分∠BAC， ∴∠FAB＝∠EAC+19°， ∵∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°， 解得，∠C＝24° 线段