1.3直角三角形(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(北师大版)

1.3直角三角形 直角三角形角的性质定理与判定定理 1. 直角三角形角的性质定理：直角三角形的两个锐角互余. 几何语言∶在△ABC中，∵∠C=90，∴∠A+∠B=90°. 2.直角三角形角的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言∶在△ABC中，∵∠A+ ∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC为直角三角形. 题型1：直角三角形的性质与求角度 1.在一个直角三角形中，一个锐角等于56°，则另一个锐角的度数是（　　） A．26° B．34° C．36° D．44° 【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【解答】解：在一个直角三角形中，一个锐角等于56°， ∴另一个锐角的度数是：90°﹣56°＝34°． 故选：B 【变式1-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B﹣∠A＝10°，则∠A的度数为（　　） A．50° B．40° C．35° D．30° 【分析】根据直角三角形的性质得到∠B+∠A＝90°，根据题意列出方程组，解方程组得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 则∠B+∠A＝90°， ∴， 解得：， 故选：B 【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠B＝52°，那么∠ACD＝　52°　． 【分析】根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得出∠B+∠A＝90°，∠A+∠ACD＝90°，求出∠ACD＝∠B，再求出答案即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∵∠B＝52°， ∴∠ACD＝52°， 故答案为：52° 题型2：利用互余证明直角三角形 2.已知：如图，BD⊥AC，E为垂足，△ABE的中线FE的延长线交CD于点G，∠1＝∠2，求证：△CGE是直角三角形． 【分析】依据直角三角形的斜边上中线的性质，即可得到EF＝BF，即可得到∠2＝∠BEF，再根据∠CEG+∠BEF＝90°，∠2＝∠1，即可得到∠CEG+∠1＝90°，进而得出△CGE是直角三角形． 【解答】证明：∵BD⊥AC，EF是△ABE的中线， ∴EF＝BF， ∴∠2＝∠BEF， 又∵∠CEG+∠BEF＝90°， ∴∠CEG+∠2＝90°， 又∵∠2＝∠1， ∴∠CEG+∠1＝90°， ∴△CGE是直角三角形 【变式2-1】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，∠1＝∠B，求证：△ABC为直角三角形． 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠A+∠1＝90°，然后求出∠A+∠B＝90°，最后根据直角三角形的定义证明即可． 【解答】证明：∵CD⊥AB， ∴∠A+∠1＝90°， ∵∠1＝∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC为直角三角形 【变式2-2】如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形． 【分析】根据平角的概念求出∠ACB＝90°，根据对顶角相等、直角三角形的性质证明结论． 【解答】证明：∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠ACB＝90°， ∵∠AOE＝∠COD，∠COD＝∠B， ∴∠AOE＝∠B， ∵∠BAC+∠B＝90°， ∴∠BAC+∠AOE＝90°， ∴∠AEO＝90°，即△AOE是直角三角形 题型3：利用直角三角形的性质判定垂直 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B，求证：CD⊥AB． 【分析】根据直角三角形的两锐角互余可得：∠A+∠B＝90°，则∠A+∠ACD＝90°，由三角形内角和及垂直定义可得结论． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠ACD＝∠B， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴CD⊥AB 【变式3-1】如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B． （1）求证：CD⊥AB； （2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长． 【分析】（1）先由∠ACB＝90°，得出∠1+∠BCD＝90°，而∠1＝∠B，等量代换得到∠B+∠BCD＝90°，再根据三角形内角和定理求出∠BDC＝90°，根据垂直的定义即可证明CD⊥AB； （2）根据三角形的面积公式可得S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，那么CD＝，将数值代入计算即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠1+∠BCD＝90°， ∵∠1＝∠B， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝90°， ∴CD⊥AB； （2）解：∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC， ∴CD＝＝＝4.8 【变式3-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90