11.3 正弦定理、余弦定理应用(课堂培优)-2021-2022学年高一数学课后培优练（苏教版2019必修第二册）

11.3正弦定理、余弦定理应用 一、单选题 1. 在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若且，，则的面积等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积计算，属于基础题． 运用正弦定理及余弦定理求出，，然后根据三角形面积公式计算即可． 【解答】 解：由正弦定理，得，得，得或舍． 由，得，则． 由知，． ． 答案：． 2. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，则    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查利用正弦、余弦定理解三角形的实际应用，属于中档题． 先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求得   【解答】  解：， ， ， ， ， 若，可得，，不成立， 所以， 是三角形的内角， ． 故选B．   3. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了利用基本不等式求最值，两角和与差的三角函数公式，正余弦定理在解三角形计算中的综合应用和三角形面积公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用正弦定理和三角形面积公式得，再结合题目条件得，再利用余弦定理得，再利用正弦定理得正弦定理得，再利用两角和与差的正弦函数公式得，再结合题目条件得和，从而得，再利用基本不等式求最值，计算得结论． 【解答】 解：由得， 而为三角形内角，因此， 所以． 又因为，所以， 因此由正弦定理得， 即， 即． 是锐角三角形，，， 因此，即， 解得． 因此． ，， 因此 ， 当且仅当时取等号． 故选A．   4. 在中，已知，，的平分线，则的面积为  A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查三角形的有关知识和方法，解题的关键是利用两个角相等结合余弦定理列出方程求解，属于中档题． 根据正弦定理可得，可设，，然后结合余弦定理列方程解之即可得解的值，由余弦定理可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求，根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】 解：因为是的平分线， 所以， ，， 又， 所以， 不妨设，， 结合已知得， 由余弦定理得：， 解得，负值舍去， 所以， 所以 ， 因为， 可得， 所以 ． 故选C．    5. 在中，角，，的对边分别为，，，其面积为，若，则一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查三角形形状的判定，考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题． 由已知结合余弦定理求得，再由三角形面积公式及已知条件得到或，进一步得到三角形为直角三角形． 【解答】 解：由，且，得 ，则． ，． 又， ，得或． 当时，代入，得； 当时，代入，得． 是直角三角形，不是等腰三角形． 故选：．   二、多选题 6. 如图，设的内角，，，所对的边分别为，，，，且若点是 外一点，，，下列说法中，正确的命题是    A. 的内角 B. 的内角 C. 四边形的面积最大值为 D. 四边形的面积无最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】 本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属中档题． 先由正弦定理得，即，由的范围即可解得，又，则为正三角形，再利用余弦定理用表示出，利用三角形面积公式表示出四边形面积，利用三角函数最值求解面积最值，结合选项即可得解． 【解答】 解：由正弦定理得 即， ，则， ， 又，所以为等边三角形， 在中，由余弦定理得， 故四边形面积为 ， 所以当，即时， 四边形面积的最大，最大值为． 故ABC正确． 故选ABC． 7. 已知的内角，，的对边长，，成等比数列，，延长至则下面结论正确的是 A. B. C. 若，则 周长的最大值为 D. 若，则 面积的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】 本题考查三角恒等变换，正余弦定理，利用基本不等式求最值，涉及三角形面积公式和等比数列性质，属于较难题， 先利用已知等式，利用两角差的余弦公式化简，并与将三边成等比数列，利用正弦定理转化后的结果结合，消去，得到关于的方程，求出，进而再次利用两角差的余弦公式得到，确定，进而确定为正三角形，可以判定 在中利用余弦定理得到，的关系式，利用基本不等式放缩得到关于的不等式，解得其范围，进而得到周长的最大值，从而判定； 利用三角形的面积公式，利用配方法，即得的面积最大值，从而判定． 【解答】 解： 化简得  ， 又，，成等比数列，则有 ， 由得： 所以， ， 解得或舍去 所以， 代入得：， ， 所以， 又， 所以为正三角形， 如图所示， 故选项A不对，选项B对； 选项：在中，根据余弦定理有 整理得， 根据基本不等式有， 解得，当且仅当等号成立， 所以周长的最大