7.1 条件概率与全概率公式 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

条件概率与全概率公式 1 条件概率 ① 定义 一般地，设为两个事件,且 ,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率. PS (1) 求“事件已发生，事件发生的概率”，可理解：如图，事件已发生，则为样本空间，此时事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即 (通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，就是以为样本空间计算的概率) Eg: 某地7月份吹南风(事件)的概率是，下雨(事件)的概率是，即吹南风又下雨的概率是，那在吹南风的条件下下雨的概率是, 在下雨的条件下吹南风的的概率是. (2) 当时，当且仅当事件与相互独立时，有； ② 概率的乘法公式 对任意两个事件与，若，则 设，则 (1)； (2) 如果和互斥，那么 ； (3) 设和互为对立事件，则. 2 全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 我们称它为全概率公式. 贝叶斯公式： 设 【题型一】 求条件概率 【典题1】某校从学生文艺部名成员(男女)中，挑选人参加学校举办的文艺汇演活动． (1)求男生甲被选中的概率； (2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 【解析】(1)从6名成员中挑选2名成员，共有种情况， 记“男生甲被选中”为事件，事件所包含的基本事件数为种，故． (2)记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则， 由(1)知，故． (3)记“挑选的2人一男一女”为事件，则， “女生乙被选中”为事件B，，故． 【点拨】① 第一问是古典概型；② 第二、问是条件概率. 【典题2】已知箱中共有个球，其中红球、黄球、蓝球各个．每次从该箱中取个球 (有放回，每球取到的机会均等)，共取三次．设事件：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件：“三次取到的球颜色都相同”，则=（ ） A． B． C． D．1 【解析】方法一 由题意 ，故选. 方法二 (事件分为①第一，二次摸球同色，与第三次球不同色，②三次颜色一样) 点评：求条件概率，可以使用或，一般情况下用更简单. 巩固练习 1(★) [多选题]下列说法有可能成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于A，P(B|A，变形可得P(AB)=P(B|A)P(A)， 而P(A)≤1，则P(B|A)≥P(AB)，A错误， 对于B，P(B|A，变形可得P(AB)=P(B|A)P(A)， 当P(A)=1时，有P(B)=P(A)P(B|A)，B正确， 对于C，当A、B是相互独立事件时，P(AB)=P(A)•P(B)，C正确， 对于D，当A、B是互斥事件时，P(A|B)=P(B|A)=0，D正确， 故选：BCD． 2(★) 某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为(　　) A．0.495% B．0.9405% C．0.9995% D．0.99% 【答案】A 【解析】设事件A表示“患某种疾病”，设事件B表示“血检呈阳性”， 则P(A)=0.5%，P(B|A)=99%， ∴患该种疾病且血检呈阳性的概率为： P(AB)=0.5%×99%=0.495%． 故选：A． 3(★) 将四颗骰子各掷一次，记事件“四个点数互不相同”，“至少出现一个5点”，则概率等于(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，记事件A=“四个点数互不相同”，B=“至少出现一个5点”， 则P(AB，P(A， 则P(B|A， 故选：A． 4(★★) 袋中有个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求： (1)第一次摸到红球的概率； (2)在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； (3)第二次摸到红球的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】根据题意，设事件A：第一次摸到红球；事件B：第二次摸到红球， 则事件：第一次摸到白球． (Ⅰ)袋中有10个球，第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，所以 ， (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，，前两次都摸到红球的概率P(AB， 则P(B|A； (Ⅲ) ，则P1﹣P(A，PB， 则P(B)=P(AB)+PB； 所以第二次摸到红球的概率． 【题型二】 全概率公式、贝叶斯公式的运用 【典题1】(1) 在12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，求任取2件产品皆为正品的概率. (2) 在12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，求先取1件为次品的概率. 【解析】 令先取的1件是次品，,， 令后取的2件皆为正品，则， (1) 由全概率公式得.