第04讲 组合、组合数-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

第04讲 组合、组合数 课程标准 课标解读 1.了解组合、组合数的意义，掌握常见的组合处理方法，会用组合的相关方法解决简单的组合问题.熟练运用组合数的相关公式及性质解决与组合有关的问题. 2.在实际问题中能区分排列与组合的关系，准确选择恰当的方法解决排列组合的相关问题. 通过本节课的学习，要求在掌握组合、组合数的意义基础上，能解决简单的组合问题.并能解决简单的排列组合综合问题. 知识点 1.组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.组合数定义及公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，即组合数，用符号C. ＝＝表示，其中C 3．组合的性质： 性质1：C； ＝ 性质2：C. ＝ 4. 排列与组合的概念 名称 定义 区别 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 排列有序，组合无序 组合 合成一组 2.排列数与组合数 定义 计算公式 性质 联系 排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“A”表示 A ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (n，m∈N*，且m≤n) (1)A＝n！； (2)0！＝1 C＝ 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“C”表示 C (n，m∈N*，且m≤n)＝ (1)C＝1； ＝C (2)C； ＝C (3)C＋C＝C 【微点拨】1.组合问题的常见类型与处理方法： ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取. ②“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解. 2.排列组合综合题思路，先选后排，先组合后排列. 当有多个限制条件时，应以其中一个限制条件为标准分类，限制条件多时，多考虑用间接法，但需确定一个总数. ①不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：不均匀分组、均匀分组、部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法. ②对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”. 【即学即练1】下列几个问题是组合问题的有(　　) ①从A，B，C 3名同学中选出2名同学任正、副班长，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要从7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？ ③安排3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ ④把3本相同的书分给5人，每人一本，有多少种分配方法？ A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【即学即练2】从10个不同的非零的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题中，属于组合的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练3】某工程队有卡车､挖掘机､吊车､混凝土搅拌车各一辆，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆，则不同的派法种数是（ ） A．18 B．9 C．27 D．36 【即学即练4】在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为（ ） A．4×13种 B．134种 C． 种 D． 种 【即学即练5】关于排列组合数，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【即学即练6】若 则 ＝_____ 【即学即练7】化简： EMBED Equation.DSMT4 ________________________. 【即学即练8】6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手多少次？ 【即学即练9】求 的值． 考法01 组合的概念及其应用 【典例1】下列问题不是组合问题的是（ ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【典例2】下面四组元素，是相同组合的是（ ） A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，b C．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d 【典例3】给出下列几个问题，其中是组合问题的是（ ） A．求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数 B．求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数