精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期期末考试数学（理）试题

哈师大附中2022届高三上学期期末考试 数学试题（理科） 第I卷 （选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ，，则 （ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 已知向量 与 的夹角为 ， ，则 在 方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 3. 已知 为等差数列 的前n项之和，且 ， ，则 的值为（ ）. A. 63 B. 81 C. 99 D. 108 4. 已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减 C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减 7. 如图，在直三棱柱 中，D为 的中点， ，则异面直线 与 所成的角为（ ） A B. C. D. 8. 某班共有 个小组，每个小组有 人报名参加志愿者活动．现从这 人中随机选出 人作为正式志愿者，则选出 人中至少有 人来自同一小组的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 10. 已知抛物线 的焦点 ，过其准线与 轴的交点 作直线 ，若直线 与抛物线相切于点 ，则 （ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，左、右顶点分别是 ，点 是椭圆 上异于 的任意一点，则下列说法正确的个数是（ ） （1） ； （2）存在点 满足 （3）直线 与直线 的斜率之积为 （4）若△ 的面积为 ，则点 的横坐标为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知函数 ，若 是函数 的唯一极值点，则实数 的取值范围是 （ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上） 13. 若 ，则 的值 ___________________. 14. 已知圆的半径为2，在圆 内随机取一点 M，则过点 M 的所有弦的长度都大于 的概率为______________. 15. 直三棱柱 的各顶点都在球 的球面上，且 ， ，若这个三棱柱的体积为 ，则球 的表面积为__________________. 16. 已知椭圆 ： （ ）与双曲线 ： （ ）有相同的焦点 、 ，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，点 为椭圆 与双曲线 的第一象限的交点，且 ，则 取最大值时 的值为___________________. 三、解答题（本大题共 6个小题，共70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为： ，以极点为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数， ）． （1）求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程； （2）若 为曲线 上的动点，点 到直线 的距离的最大值为 ，求 的值． 18. 某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关，某同学只能背诵其中的6 篇，试求： （1）抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布及数学期望； （2）他能过关的概率． 19. 已知数列 是等差数列， 是递增的等比数列，且 ， ， ， ． （1）求数列 和 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 20 如图， 且 ， ， 且 ， 且 ， 平面ABCD， ． （1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： 平面CDE； （2）求二面角 的正弦值； （3）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长． 21. 已知函数 ， ． （1）求函数 的单调区间； （2）若 且 ，证明： ， . 22. 如图，已知椭圆 ： 的