6.4.1-6.4.2平面几何中的向量方法和向量的物理应用(典例精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高一下学期数学同步精讲+检测(人教A版2019必修第二册)

6.4.1-6.4.2-平面几何中的向量方法和向量的物理应用 本节课知识点目录： 1、 平面几何中的向量方法1：长度； 2、 平面几何中的向量方法2：角度。 3、 平面几何中的向量方法3：判断三角形形状。 4、 平面几何中的向量方法4：求面积 5、 平面几何中的向量方法5：四心 6、 平面几何中的向量方法6：证明题 7、 物理应用：受力分析 8、 物理应用：“渡河”等 -----典例精讲 一、平面几何中的向量方法1：长度 用向量方法解决平面几何问题： 1.适当的选择平面几何与向量的联系点，如建系、三角代换、几何意义等，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． 2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． 3.把运算结果转化成几何关系． 【典型例题】 【例1】在平行四边形中，，，为的中点，若，则的长为 A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】 作出图形，根据平面向量基本定理，得到，再由题中数据，根据向量数量积的运算，即可求出结果． 【详解】 解：如图． ．∴，即．故选：D． 【例2】已知是的重心，若，，则的最小值是（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知，得出，，从而，利用不等式求其最小值，得出的最小值． 【详解】 ，，， 为三角形的重心，， ， 从而的最小值是， 故选：D 【例3】已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______. 【答案】7 【解析】 【分析】 以为轴的正方向建立直角坐标系，设，然后表示出，然后可得答案. 【详解】 以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示： 设， 则 ，当时取得最小值7 故答案为：7 【例4】矩形ABCD中，，，点P为矩形ABCD内（包括边界）一点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 由题意，取中点为，则有，可知求解的范围就是的范围. 【详解】 由题意，取中点为，则有， ， 如图所示，当点与点或者点重合时，取最大值 当点与点重合时，取最小值0 故答案为： 【例5】已知外接圆的圆心为O，半径为1.设点O到边，，的距离分别为，，.若，则（ ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意：，则有，进而移项进行两两组合， ，进一步可以化简为：，设出三边的中点，结合图形，探讨三角形的形状，最后得到答案. 【详解】 ∵外接圆半径为1，∴，∴， ∴， ∴，设边，，的中点分别为M,N,P， ∴,同理：，如图1： 若点O不与M,N,P任何一点重合，则，同时成立，显然不合题意； 如图2： 不妨设点O与点M重合，由，根据中位线定理有由AB⊥AC，则， ∴. 故选：B. 【例6】设正数，，满足，，，是以为圆心的单位圆上的个点，且.若是圆所在平面上任意一点，则的最小值是 A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数量积及建立不等式，即可求出最小值. 【详解】 是以为圆心的单位圆上的个点, , 故 而，， ， 故， 当且仅当点与点重合时等号成立， 即的最小值是, 故选：B 【对点实战】 1.如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】 由条件可得，然后用、表示出，然后可算出答案. 【详解】 因为，，，所以. 因为， 所以 故选：B 2.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有.若，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（ ） A． B．2 C．2 D．2 【答案】D 【分析】 先根据M，N满足的条件，将化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将，左边用表示出来，结合x+y＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值. 【详解】当M，N分别是边BC，DC的中点时， 有 所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，则 则，又x+y＝3，所以λ+μ＝1. 故NC+MC＝4，则 （当且仅当MC＝NC＝2时取等号）.故线段MN的最短长度为故选：D. 3.已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】 令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值. 【详解】 如图:令，，则，故. 因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上. 设，连接，因为，所以点在直线上. 因为，所以，即，所以. 结合图形可知，当时，即取得最大值，且. 故选：D 4.在中，，点满足，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 取中点O，由已知可确定，利用向量的运算和长度关系将转化为，由此