第八章 立体几何初步 专题2 求异面直线所成的角--2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第二册）

第8章 立体几何初步 专题2 求异面直线所成的角 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 柱体中异面直线所成的角 例1：（2021·全国·高一课时练习）在长方体 中， ， ， 与平面 所成的角为 ，则直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2021·全国·高一课时练习）在正三棱柱 中，若 ，则 与 所成的角的大小是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2021·广东·清远市清新区凤霞中学高一期中）长方体 中， 和 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线 和 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（2021·广东白云·高一期末）如图，直三棱柱 中， 是 的中点. （1）求证：直线 平面 ； （2）若 ，求异面直线 与 所成角的大小. 类型二 椎体中异面直线所成的角 例2.（2021·全国·高一课时练习）在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，AB＝BC＝BD＝2，E，F分别是BC，AD的中点，则直线AE与CF所成角的余弦值为（ ） A．﹣ B． C． D．﹣ 【变式1】（2021·广西南宁·高一月考）已知直三棱柱 中， ， ，且直线A1B与平面ABC所成的角为 ，D为 的中点，则异面直线 与AD所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2021·内蒙古赤峰·高一期末（文））正四棱锥S-ABCD的侧棱长为 ，底面边长为 ，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为___________. 【变式3】（2021·重庆·高一期末）如图，正四棱锥 中， ， 是棱 上靠近点 的三等分点， 是棱 的中点. （1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）求四面体 的体积. 类型三 由异面直线所成的角求其它量 例3.（2021·天津·高一期末）四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 底面 ，异面直线 与 所成的角的余弦值为 ，则四棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2021·全国·高一课时练习）如图，在四面体 中， ， 与 所成的角为 ， 、 分别为 、 的中点，则线段 的长为________． 【变式2】如图，在底面边长为1的正四棱柱 中，点E为 的中点，异面直线 与 所成的角的正弦值为 ，则侧棱 的长度为______. 【变式3】如图，圆柱 中，两半径 ， 等于1，且 ，异面直线 与 所成角的正切值为 ，则该圆柱 的体积为______． 【限时训练】 1．（2021·江苏·徐州市第一中学高一期中）在空间四边形 中， 分别为 的中点，若 与 所成的角为 ，则 与 所成角的大小为（ ） A． B． C． 或 D．以上都不正确 2．（2021·云南省永善县第一中学高一开学考试）如图，已知菱形 中， ， ，将 沿 折起至 ，使平面 平面 ，则四面体 中， 与 所成角的余弦值为（ ） A． B．0 C． D． 3．（2021·内蒙古·集宁二中高一期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=4，CD=3，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．（2021·河北邢台·高一月考）已知圆柱的母线长与底面半径之比为 ，四边形 为其轴截面，若点 为上底面 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5．（2021·浙江·温州中学高一期中）已知正四面体 中， ， 分别为棱 ， 的中点， 为棱 上（含端点）的动点，则异面直线 和 所成角的余弦值的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．（2021·全国·高一课时练习）如图，三棱锥 中， 平面ABC，D是棱PB的中点，已知 ， ， ，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为__. 7．（2021·全国·高一课时练习）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为______． 8．已知：平面 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线AC与BD的夹角是