第八章 立体几何初步 专题1 与球有关的切、接问题-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第二册）

第8章 立体几何初步 专题1 与球有关的切、接问题 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径。多面体的外接球（内切球）问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：①公式法；②多面体几何性质法；③补形法；(④寻求轴截面圆半径法；⑤确定球心位置法． 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 几何体的外接球问题 例1：（2021·广东高州·高一期末）已知正四面体 的表面积为 ，且 、 、 ， 四点都在球 的球面上，则球 的体积为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2021·山东莱西·高一期末）已知 是面积为 的等边三角形，其顶点均在球 的表面上，当点 在球 的表面上运动时，三棱锥 的体积的最大值为 ，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2021·全国·高一课时练习）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（2021·内蒙古包头·高一期末）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，若 平面 ， ，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 类型二 几何体的内切球问题 例2.（2021·安徽·合肥艺术中学 高一期中）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.已知一个堑堵的底面积为6，体积为 的球与其各面均相切，则该堑堵的表面积为（ ） A．18 B．24 C．36 D．48 【变式1】（2021·云南·罗平县第二中学高一月考）在封闭长方体 内有一个表面积为 的球，若 ，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2021·湖北黄冈·高一期末）若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为 ，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2021·湖南·常德市第二中学高一期末）节分端午自谁言，万古传闻为屈原；路漫漫其修远兮，吾将上下而求索；亦余心之所善兮，虽九死其尤未悔 .端午节是传统节日中富有刚健气息的节日.习近平总书记曾在多个场合引用屈原诗作名句阐述思想､寄情言志.辛丑端午，让我们重温这些名言隽句，感悟总书记深沉的家国情怀.端午节吃粽子，赛龙舟寄寓了对屈原的怀念.粽子主要材料是糯米､馅料，用籍叶包裹而成，形状多样，主要有尖角状､四角状等.四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为（ ） A． B． C． D． 类型三 与空间几何体棱相切的球有关的体积问题 例3.（2021·辽宁·）已知球与棱长为 的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2021·江苏·无锡市市北高级中学）我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（ ） A．正方体的棱切球的半径为 B．正四面体的棱切球的表面积为 C．等长正六棱柱的棱切球的体积为 D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为 【变式2】（2021·江西省靖安中学（理））若球与棱长为2的正方体的各棱相切，求该球的表面积__________ 【变式3】（2021·江苏省苏州实验中学）一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式为V= ，其中R为球的半径，h为球缺的高.若一球与一棱长为2的正方体的各棱均相切，则该球与正方体的公共部分的体积为______. 【限时训练】 1．已知正四面体 中， 为棱 的中点，四面体 的内切球（与四面体各个面都相切的球）半径为 ，外接球（过四面体各个顶点的球）半径为 ，则 （ ） A．3 B．4 C． D． 2．球O与棱长为2的正方体 的各条棱都相切，点M为棱 的中点，则平面ACM截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 3．（2021·广东海丰·高一月考）已知某圆锥底面圆的直径是3，圆锥的母线长为3，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体（每条棱长都为a的三