6.4.3余弦定理、正弦定理-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）

6.4.3 余弦定理、正弦定理 一、余弦定理： 1、公式表达：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 【注意】余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝ 4、余弦定理的推导示例：在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为， ∴， 即 从而 同理，根据，， 可以得到， 二、正弦定理 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 【注意】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 3、正弦定理的推导示例： 当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义， CD＝asinB，CD＝bsinA， 所以asinB＝bsinA，得到＝. 同理，在△ABC中＝. 从以上的讨论和探究可得：＝＝. 三、三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 四、解三角形 一般地，三角形的三个角，，和她们的对边，，叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 题型一 利用余弦定理解三角形 类型1 已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； 【例1-1】在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝________cm； 【变式1-1】（1）在△ABC中，b＝5，c＝5，A＝30°，则a等于( ) A．5 B．4 C．3 D．10 （2）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝( ) A． B． C．2 D．3 （3）在△ABC中，已知sinC＝，a＝2，b＝2，求边c. （4）在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 类型2 已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 【例1-2】在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C. 【变式1-2】（1）在△ABC中，a︰b︰c＝1︰1︰，则cos C的值为( ) A． B．－ C． D．－ （2）在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为( ) A． B． C． D．3 （3）在△ABC中，三边长AB＝7，BC＝5，AC＝6，则·等于( ) A．19 B．－14 C．－18 D．－19 （4）在△ABC中，若a＝＋1，b＝－1，c＝，则△ABC的最大角的度数为( ) A．60° B．90° C．120° D．150° 题型二 利用余弦定理判断三角形形状 【例2】在中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断的形状． 【变式2-1】在中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断的形状． 【变式2-2】在中，如果，则该三角形的形状为____________； 【变式2-3】在中，若2∠B＝∠A＋∠C，b2＝ac，则的形状为__________. 【变式2-4】在中，已知lga－lgc＝lgsinB＝－lg，且B为锐角，试判断的形状. 【变式2-5】以4