复数专题：利用复数几何意义求与模有关的最值问题-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）

复数专题：利用复数几何意义求与模有关的最值问题 一、复数的几何意义 每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应. 复数集中的数与复平面内的点建立了一 一对应的关系， 复数在复平面内的对应点 二、复数模的几何意义 1、向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或， 即，其中、 表示复平面内的点到原点的距离； 2、的几何意义：复平面中点与点间的距离，如右图所示。 示例：表示：点到点的距离 小结：复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式， 若，则表示复平面内点与点之间的距离， 则表示以为圆心，以r为半径的圆上的点. 三、圆外一点到圆上一点的距离最值问题 如图所示，点在圆上运动，在圆上找一点使得最小（大） 如图，当为连线与圆交点时，最小，最小为； 当在延长线与圆交点时，最大，最大为 题型一 与复数有关的轨迹（图形） 【例1】已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i. 设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？ 【变式1-1】已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为( ) A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 【变式1-2】若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________． 【变式1-3】（多选）表示( ) A．点与点之间的距离 B．点与点之间的距离 C．点到原点的距离 D．坐标为的向量的模 【变式1-4】满足条件|z－2i|＋|z＋1|＝的点的轨迹是( ) A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 【变式1-5】在复平面内，已知定点与复数，那个点与复数，问：满足不等式的点的集合是什么图形？ 题型二 模长最值问题 【例2】已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为（ ） A．1 B．2 C． D．3 【变式2-1】已知复数的模为1，则的最大值为__________. 【变式2-2】已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值． 【变式2-3】已知复数z，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________． 【变式2-4】若且则的取值范围是________. 【变式2-5】已知复数z满足等式，则的最大值为______ 【变式2-6】若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值． 【变式2-7】若且，则的取值范围为__________． 【变式2-8】若(是虚数单位)，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $复数专题：利用复数几何意义求与模有关的最值问题 一、复数的几何意义 每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应. 复数集中的数与复平面内的点建立了一 一对应的关系， 复数在复平面内的对应点 二、复数模的几何意义 1、向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或， 即，其中、 表示复平面内的点到原点的距离； 2、的几何意义：复平面中点与点间的距离，如右图所示。 示例：表示：点到点的距离 小结：复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式， 若，则表示复平面内点与点之间的距离， 则表示以为圆心，以r为半径的圆上的点. 三、圆外一点到圆上一点的距离最值问题 如图所示，点在圆上运动，在圆上找一点使得最小（大） 如图，当为连线与圆交点时，最小，最小为； 当在延长线与圆交点时，最大，最大为 题型一 与复数有关的轨迹（图形） 【例1】已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i. 设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？ 【答案】以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示． 【解析】|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2. 因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离， 所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合， |z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合， 故符合题设条件点的集合是: 以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示． 【变式1-1】已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为( ) A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 【答案】A 【解析】∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，表示一个圆．故选A.