4.3 等比数列及其前n项和 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

等比数列及其前项和 1等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为. 代数形式：是常数， 或 是常数， Eg 是公比为的等比数列； 是公比为的等比数列； 不是等比数列； PS所谓常数就是与无关；等比数列中； 偶数项的正负、奇数项的正负相同. Eg 若成等比数列，则 . 解：，而,故. 与均是奇数项，符号相同) 2 等比中项 若成等比数列，则称与的等差中项,则； 3证明一个数列是等比数列的方法 ① 定义法：是常数，是等比数列； ② 中项法：是等比数列； ③ 通项公式法：若数列的通项公式是形如是不为常数， 则数列是等比数列； ④ 前项和法：若数列的前项和是形如是常数且，，， 则数列是等比数列. 4 通项公式 等比数列的首项为，公比为，则.(由定义与累乘法可得) 5前项和 等比数列的首项为，公比为，则其前项和为 (由错位相减法可证) 注：使用时注意公比是否等于，若不确定，使用时需要分类讨论. 6 基本性质(其中 设是首项为, 公比为的等比数列，那么 若 则 ； ； ； 数列(是不为零的常数)仍是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列， 则数列是公比为的等比数列； 下标成等差数列且公差为的项组成公比为的等比数列； (6)若,则成等比数列；(，是偶数时，) 【题型一】等比数列的判断与证明 【典题1】【多选题】已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　) A． B． C． D． 【解析】由题意，可设等比数列的公比为，则． 对于：．(等比数列通项公式形如指数型) 数列是一个以为首项，为公比的等比数列； 对于：若，则． 数列是一个以为首项，为公差的等差数列； 对于：， 数列是一个以为公比的等比数列； 对于：， 数列是一个以为公比的等比数列． 故选：． 【点拨】 ① 判定等比数列常用定义法：是常数，是等比数列； ② 等比数列通项公式形如指数型，在选择填空题运用. 【典题2】 已知数列的前项和为，且满足． 求证为等比数列，并求. 【解析】证明：， (遇到与的等式可想到) 当时， 两式相减得 ， 化简得， ， (不要漏了大前提：，要证明为等比数列，还要判断当时也成立) 而对于中当时有， 则满足， ， 为等比数列，首项为，公比为的等比数列， , . 【点拨】 数列问题中，特别要注意的取值范围，比如，要确定好. 【典题3】 设数列的首项为常数，且． 判断数列是否为等比数列，请说明理由； 是数列的前项的和，若是递增数列，求的取值范围． 【解析】 当时， (定义法证明等比数列，要注意首项是否等于) ① 当，即时，， 时，为等比数列，公比为． ② 当，即时，，数列不是等比数列． ① 当时，，为单调递增数列，满足条件． ② 当时，由可得：， 若是递增数列，则，即， ， (问题变成恒成立问题，可想到分离参数法，遇到想到分奇偶数讨论) 当为偶数，则， 故，(是增数列，) 当为奇数，则， 故，(是减数列，) ．且． 综上可得：． 【点拨】若，不能得到是等比数列，一定要强调才行. 巩固练习 1 (★) 根据下列通项能判断数列为等比数列的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，是等差数列，不是等比数列，故错误； 在中，既不是等差数列，又不是等比数列，故错误； 在中，是等比数列，故正确； 在中，既不是等差数列，又不是等比数列，故错误． 故选：． 2 (★★) 已知数列是等比数列，则下列数列中：①；②；③，等比数列的个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】数列是等比数列，设公比为，则为常数． 则 ，则 ，为常数，故：①为等比数列． ，不是常数，故②不是等比数列． ，为常数，故③为等比数列， 故选：． 3 (★★) 在数列中，，,证明：数列是等比数列. 【证明】 ，1． 数列是等比数列，首项为，公比为． 4 (★★★) 设为数列的前项和，已知． (1)证明：为等比数列； (2)求的通项公式，并判断是否成等差数列？ 【答案】(1) 见解析 (2) ，成等差数列 【解析】(1)证明：，， ，，， ， 是首项为公比为的等比数列． (2)解：由(1)知，，， ， ，， 即成等差数列． 【题型二】等比数列的基本运算 【典题1】 若是等比数列的前项和，成等差数列，且， 则 . 【解析】由题意可得：等比数列的公比， (利用等比数列的前项和公式，特别要注意公比是否等于) 成等差数列，， ， ， 则． 【点拨】 ① 与等差数列差不多，首项和公比是等比数列的基本量，通项公式和前项和公式均与基本量有关；