5.3 导数与函数的单调性 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

导数与函数的单调性 1 函数单调性与导数 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 2 若函数在某个区间内单调递增，则(含等号)恒成立，但不存在一区间内使得； 解释 假如存在一区间内使得，那原函数在区间内恒等于一个常数，即是个常数，则原函数不可能在内单调递增. 函数在某个区间内单调递减有类似结论！ 【题型一】 不含参函数的单调性 【典题1】函数的定义域为，且图象如图所示，则不等式的解集为 . 【解析】由图可知，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时，． 不等式可等价于或， 当时，有，即； 当时，有，即， 综上所述，不等式的解集为． 【点拨】由原函数图像判断出原函数的单调性，继而得到导函数的正负性(导函数的穿线图)，再看图易得不等式解集.注意原函数的趋势图与导函数的穿线图之间的转化. 【典题2】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 【解析】，则， 若在区间上单调递增，则在恒成立 ， 方法一 分离参数法 要成立等价于在恒成立， 令，， 则，在递增， 故， 故， 方法二 数形结合法 令，它是开口向下，过定点， 结合图像可知若要成立，只需要. 【点拨】 ① 若函数在某个区间内单调递增，则(含等号)恒成立，但不存在一区间内使得； ② 处理恒成立问题，方法多样，比如直接转化为最值问题，利用分离参数法转化为最值问题，数形结合等. 【典题3】 已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且对任意实数都有，则不等式的解集为 . 【解析】设， 则． 故在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以， 而不等式，即， 又在上单调递增，． 【点拨】 本题属于构造函数题型，如何构造呢？角度有二 ① 从已知条件入手， 思考 ， 这需要熟悉求导法则的逆运用，下表举例供参考(其中是常数)： (1) 形式，构造函数； (2)； (3) ； (4) (5) ； (6) ； 形式多样，不需要死记，要灵活运用，本题可利用第(5)个例子. ② 从求证入手，要求不等式，变形得，想到构造函数也不难. 【典题4】求函数的单调区间. 【解析】函数的定义域是， (注意定义域) 由，得， 令，则， 令，解得，令，解得， 故在递减，在递增， 故， 故在递增，无递减区间. 【点拨】 ① 本题其实是对原函数进行了“二次求导”，思路可以如下 求原函数的单调区间 分析导函数的正负性(即的零点问题) 若能画出的图像一切就清楚，那就再分析的单调性和最值，故二次求导了. ② 原函数的单调性与导函数的正负性相关，分析导函数的正负性利用注重导函数的零点问题； ③ 是个重要的不等式. 巩固练习 1(★) 已知定义在区间上的函数的图象如图所示，若函数是的导函数，则不等式的解集为 . 【答案】(－2，－1)∪(－1，1) 【解析】结合导数与单调性关系可知， －2<x<－1，1<x<2时，函数单调递减，此时f′(x)<0， 当－1<x<1时，函数单调递增，此时f′(x)>0， 由不等式可得，(x+1)f′(x)>0， 解可得，－1<x<1或－2<x<－1， 故不等式的解集(－2，－1)∪(－1，1)． 2(★★) 已知，，，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令f(x)=a－c=x－ln(x+1)，x>0，f′(x)=10， ∴函数f(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴f(x)>f(0)=0，可得a>c． 令g(x)=c－b=ln(x+1)－x，x∈(0，+∞)． ∴g′(x)1+x0， ∴函数g(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴g(x)>g(0)=0． ∴c>b． 综上可得：a>c>b． 故选：D． 3(★★) 已知定义在上的函数满足，对恒有，则的解集为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令F(x)=f(x)－2x－1， 则F′(x)=f′(x)－2， 又∵对∀x∈R恒有f′(x)<2， ∴F′(x)=f′(x)－2<0恒成立， ∴F(x)=f(x)－2x－1是R上的减函数， 又∵F(1)=f(1)－2－1=0， ∴当x≤1时，F(x)≥F(1)=0，即f(x)－2x－1≥0， 即不等式f(x)≥2x+1的解集为(－∞，1]． 故选：B． 4(★★) 已知函数，若，，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数f(x)=x2－xsinx=x(x－sinx)， 设g(x)=x－sinx，x∈(0，+∞)， 则g'(x)=1－cosx≥0在(0，+∞)恒成立， ∴函数g(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴g(x)>g(0)=0， 即函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，且g(x)>0， 又∵函数y=x在(0，+