5.1 导数的概念及其运算 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

导数的概念及其运算 1 平均变化率 若某个问题中的函数关系用表示，问题中的变化率用式子表示， 则式子称为函数从到的平均变化率. Eg 函数在区间上的平均变化率为．它与斜率相等. 2 导数概念 函数在处的瞬时变化率是 则称它为函数在处的导数，记作，即 3 导函数 若当变化时，是的函数，则称它为的导函数(简称导数)，记作或，即 4 导数的计算 基本初等函数的导数公式 5 导数运算法则 (1)； 拓展：； 记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差； (2)； 特别：，为常数； 记忆：两函数积的导数等于“前导后不导＋后导前不导”； (3). 记忆：两函数商的导数等于“分母平分，分子导分母不导－分母导分子不导”. 6 复合函数的导数 对于两个函数和，若通过变量可以表示成的函数，则称这个函数为函数和的复合函数，记作． 复合函数的导数与函数 的导数间的关系是 Eg若，设，， 则. 【题型一】导数概念的理解 【典题1】函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是(　　) A． B． C． D．大小关系不能确定 【解析】函数在到之间的平均变化量为： ． 函数在到之间的平均变化量为： ． ，而，故． 故选：． 【点拨】平均变化率，由二次函数的图象也易得. 【典题2】已知函数是可导函数，且，则等于　 　． 【解析】，， 设， 故答案为：3． 【点拨】导数有不同表示形式 与相关. 【典题3】求. 【解析】设，由求导公式可知， (构造出导数的形式) (由导数的概念可知) 【点拨】 ① 用大学知识点洛必达法则可算出； ② 本题的实质：函数在处没意义，那当时，趋向何值？在后面求函数值域时常要考虑，解析中由导数的概念也可得到值趋向，如下图. 巩固练习 1(★) 函数在的平均变化率分别记为， 则下面结论正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】m1f(1)－f(0)=1－0=1， m2f(1)－f(0)=12－0=1，m3f(1)－f(0)=13－0=1， 故m1=m2=m3，故选：A． 2(★) 某物体做自由落体运动的位移，，若， 则是该物体(　　) A．从到这段时间的平均速度 B．从到这段时间的平均速度 C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度 【答案】C 【解析】根据题意，9.8m/s，则有s′(1)=9.8m/s， 即物体在t=1s这一时刻的瞬时速度为9.8m/s， 故选：C． 3 (★★) 设函数可导，，则　 　． 【答案】1 【解析】根据题意，. 4 (★★) 已知是的导函数，且，则　 　． 【答案】-6 【解析】， ∴. 5 (★★★) 求. 【答案】1 【解析】令， . 【题型二】导数的运算 【典题1】 设函数的导函数是，若，则 . 【解析】 ， ，是个常数) ， ， ，， 【典题2】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) 【解析】(1)方法一， ； 方法二 (2) (没有求导公式，化为) ． (3)．(先化简) ． (4)方法一 由复合函数求导，可得 ； 方法二 . 【点拨】求导先要明确函数的结构，是函数“加减形式”、“乘除形式”还是“复合函数形式”,再选择简单形式求导. 【典题3】已知函数，其中为函数的导数，则 . 【解析】方法一 设，则是奇函数，, 是偶函数； ； ． 方法二 设，则是奇函数，, 是奇函数，是偶函数，是偶函数 ； . 【点拨】 ① 函数奇偶性的判断：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×奇=偶，奇×偶=奇，偶×偶=偶；了解这些能更快判断复杂函数的奇偶性； ② 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数. 【典题4】设，则 . 【解析】 方法一 . 方法二 . 【典题5】写出与的一种关系. 若，则. 若，则. 若，则 若，则 若，则. 【解析】 (1) 对应 2-5题，对应 题对应 【点拨】这是导数运算法则的逆运用，也是后面的一种构造函数的技巧，注意函数的结构灵活运用导数运算公式. 巩固练习 1(★) 若函数满足，则的值为　　． 【答案】0 【解析】求函数f(x)x3－f′(1)•x2－x的导数，得，f′(x)=x2－2f′(1)x－1， 把x=1代入，得，f′(1)=1－2f′(1)－1，∴f′(1)=0. 2(★) 已知函数，则　　． 【答案】 【解析】函数f(θ)， 则 f