4.4 数学归纳法 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

数学归纳法 1 数学归纳法的概念 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当时命题成立； (2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”； 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法. PS 用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可. 2 数学归纳法的运用 数学归纳法证明的对象是与正整数有关的命题，比如：与正整数有关的等式或不等式的证明，求数列的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等. 在运用数学归纳法证明时要注意以下几点 ① 第一步归纳奠基中的不一定是； ② 当证明从到时，所证明的式子不一定只增加一项； ③ 在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在时的式子中凑出的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法等，不等式证明中还会用到放缩法)； ④ 要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想. 【题型一】 对数学归纳法的理解 【典题1】用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取 . 【解析】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立； 结合本题，要验证时，左边，右边，不成立， 时，左边，右边，不成立， 时，左边，右边，成立， 时，左边，右边，成立， … 因为成立，所以恒成立． 故. 【点拨】数学归纳法第一步中的不一定是，一般是满足题意的最小的正整数. 【典题2】用数学归纳法证明命题“当是正奇数时，能被整除”，在第二步时，正确的证法是 (　　) A．假设，证明命题成立 B．假设(是正奇数)，证明命题成立 C．假设，证明命题成立 D．假设(是正奇数)，证明命题成立 【解析】中，不一定表示奇数，只有中为奇数，为奇数．故答案： 【点拨】注意第二步中不一定是，要注意题目对的要求. 【典题3】 用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到 成立时，左边增加的项数是 . 【解析】用数学归纳法证明的过程中， 假设时，左侧， 当成立时，左侧， 从到时，左边增加， 共有项． 【点拨】数学归纳法第二步中从到成立时，增加的项数不一定是只有项，要式子变化的规律去判断，这在证明题中有助于关于“两个凑”的思考. 巩固练习 1 (★) 用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是(　　) A．第一步应该验证当时不等式成立 B．从“到”左边需要增加的代数式是 C．从“到”左边需要增加项 D．从“到”左边需要增加项 【答案】D 【解析】由于， 所以第一步应该是验证当时不等式成立， 从“到”左边需要增加的代数式是，共项． 故选：． 2 (★)用数学归纳法证明时，第二步应假设(　　) A．时， B．时， C．时， D．时， 【答案】C 【解析】根据证明的结论，， 故第二步的假设应写成：假设时命题正确，即正确． 故选：． 3(★) 用数学归纳法证明“”时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】时，不等式的左边等于，且， 当时，不等式的左边等于， 当时，不等式的左边比时增加． 故选：． 4(★) 用数学归纳法证明“能被整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项(　　)能被整除． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】假设时命题成立，即能被9整除， 那么，当时， ， 能被整除， 要证上式能被9整除，还需证明也能被整除． 故选：． 【题型二】 等式的证明 【典题1】 用数学归纳法证明：. 【解析】 ①当时，左边，右边，左边=右边． ②假设时等式成立，即， 那么当时， ， 即当时，等式成立． 综上，． 【点拨】熟悉数学归纳法的解题步骤. 【典题2】 观察下列等式： ；；；… (1)请写出第个、第个等式，猜想出第个等式； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 【解析】(1)根据等式可知第个等式为， 第个等式为， 观察个式子，可以猜测第个式子为． (通过观察法得到，其实其公式即是) (2)证明：当时，左边右边，此时猜想的等式成立； 当，时，假设成立， 当时， (这步相当于以“”为已知条件， 证明“成立”， 接着证明) ， 当时，猜想的等式也成立， 综上，等式对任意的都成立． 【点拨】等式的证明主要是对式子进行“通分、因式分解”等基本操作，要明确已知什么证明什么，再利用综合法分析法找到解题思路. 巩固练习 1 (★★) 证明：. 【证明】(1)当时，左边，右边，赞美式成立． (2)假设当时，等式成立，即 则当时，