平面向量专题：奔驰定理与三角形面积问题-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）

平面向量专题：奔驰定理与三角形面积问题 1、奔驰定理：是内的一点，且， 则 2、证明过程：已知是内的一点，，，的面积分别为，，， 求证：. 延长与边相交于点， 则， ， ∵， ∴， ∴， 所以. （3）奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”． 对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。 但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。 题型一 奔驰定理直接应用 方法概要：当向量关系式为奔驰定理标准形式时，可直接找到对应面积之间的比例关系。 【例1】（1）已知为内一点，且满足，则 . （2）设点在所在平面内，若，则与的面积比为 . 【变式1-1】设点在的内部，且，若的面积是27，则的面积为（ ） A．9 B．8 C． D．7 【变式1-2】设点在的内部，且，则的面积与的面积之比是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【变式1-3】已知点是的内一点，且，则 【变式1-4】已知点是所在平面内一点，满足，，则_ 题型二 奔驰定理变形应用 类型1 点在三角形内部 方法概要：当点在三角形内部，但所给向量关系不是奔驰定理标准形式时， 可以先将向量关系通过向量线性运算化简成奔驰定理标准形式， 再根据奔驰定理得出各三角形面积之间的比例关系。 【例2】如图，设为所在平面内的一点，且，则与的面积之比等于（ ） A. B. C. D. 【变式2-1】已知点是所在平面内的一点，若满足，且，则实数的值是______. 【变式2-2】设点在的内部，且，则的面积与的面积之比是 【变式2-3】点在内的一点，，则的面积与的面积之比是 【变式2-4】在中，为所在平面内一点，且，则等于( ) A． B． C． D． 【变式2-5】已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于( ) A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 类型2 点在三角形外 方法概要：当点在三角形外部时，化简所得到的奔驰定理形式中，，会有负数出现， 此时直接使用奔驰定理推论即可。 【例3】点在所在平面上，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【变式3-1】已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是 【变式3-2】设为所在平面上一点，且满足．若的面积为8，则的面积为___________． 【变式3-3】已知点是所在平面内一点，若，则与的面积比为（ ） A． B． C． D． 类型3 点在三角形上 方法概要：当点在三角形上时，可直接利用等高的思想判断面积之间的比例关系， 再进行等量代换即可得出结果。 奔驰定理在此处的作用只是提供一个分析的方向。 【例4】已知的三个顶点，，及坐在平面内一点满足，若与的面积分别为，，则 【变式4-1】所在平面上一点P满足（，m为常数），若的面积为6，则的面积为_____. 【变式4-2】已知，则与的面积之比为 ． 【变式4-3】设是所在平面内的一点，且，则与的面积的比值是（ ） A. B. C. D. 【变式4-4】已知点在正所确定的平面上，且满足，则的面积与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量专题：奔驰定理与三角形面积问题 1、奔驰定理：是内的一点，且， 则 2、证明过程：已知是内的一点，，，的面积分别为，，， 求证：. 延长与边相交于点， 则， ， ∵， ∴， ∴， 所以. （3）奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”． 对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。 但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。 题型一 奔驰定理直接应用 方法概要：当向量关系式为奔驰定理标准形式时，可直接找到对应面积之间的比例关系。 【例1】（1）已知为内一