专题17.5 因式分解法解一元二次方程-重难点题型-2021-2022学年八年级数学下册举一反三系列（沪科版）【学科网名师堂】

专题17.5 因式分解法解一元二次方程-重难点题型 【沪科版】 【知识点1 因式分解法概念】 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程 转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 【题型1 因式分解法概念的应用】 【例1】（2020秋•福州期中）如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（　　） A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1 C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1 【分析】根据已知分解因式和方程得出x+3＝0，x﹣1＝0，求出方程的解即可． 【解答】解：∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式， ∴x+3＝0，x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， 即方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1， 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程和分解因式，能根据题意得出x+3＝0和x﹣1＝0是解此题的关键． 【变式1-1】（2020•晋江市一模）若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可以分解为（　　） A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5） C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5） 【分析】先提取公因式2，再根据已知分解即可． 【解答】解：∵x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5， ∴2x2﹣4px+6q＝2（x2﹣2px+3p） ＝2（x+3）（x﹣5）， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程和分解因式，注意：能够根据方程的解分解因式是解此题的关键． 【变式1-2】（2020秋•晋江市期中）若方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝x2＝m，则下列结论正确的是（　　） A．n＝0且n是该方程的根 B．n＝m且n是该方程的根 C．n＝m但n不是该方程的根 D．n＝0但n不是该方程的根 【分析】解方程得到方程的根，然后根据方程有两个相等的实数根，于是得到结论． 【解答】解：∵x2﹣（m+n）x+mn＝0， ∴（x﹣m）（x﹣n）＝0， ∴x﹣m＝0，x﹣n＝0， ∴x1＝m，x2＝n， ∴方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝m，x2＝n， ∵x1＝x2＝m， ∴n＝m且n是该方程的根， 故选：B． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式1-3】（2020秋•浉河区校级月考）我们知道可以用公式x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）来分解因式解一元二次方程． 如：x2+6x+8＝0，方程分解为：　 　＝0， x2﹣7x﹣30＝0，方程分解为：　 　＝0 爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：3x2﹣7x+2＝0 解：方程分解为：（x﹣2）（3x﹣1）＝0 从而可以快速求出方程的解．你利用此方法尝试解下列方程4x2﹣8x﹣5＝0 【分析】借助与题目中所给的方法可进行因式分解可求得两个填空的答案，同样的方法可对4x2﹣8x﹣5＝0进行因式分解，可求得答案． 【解答】解： ∵x2+6x+8＝（x+2）（x+4），x2﹣7x﹣30＝（x﹣10）（x+3）， ∴x2+6x+8＝0可分解为（x+2）（x+4）＝0，x2﹣7x﹣30＝0可分解为（x﹣10）（x+3）＝0， 故答案为：（x+2）（x+4）；（x﹣10）（x+3）； ∵4x2﹣8x﹣5＝（2x﹣5）（2x+1）， ∴4x2﹣8x﹣5＝0可分解为（2x﹣5）（2x+1）＝0， ∴2x﹣5＝0或2x+1＝0， ∴x或x． 【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握二次三项式的因式分解是解题的关键． 【知识点2 因式分解法解一元二次方程的步骤】 ①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一 次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【题型2 用提公因式法解一元二次方程】 【例2】（2020秋•揭西县月考）用分解因式解方程：x（5x+4）﹣（4+5x）＝0． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：∵x（5x+4）﹣（4+5x）＝0， ∴（5x+4）（x﹣1）＝0， 则5x+4＝0或x﹣1＝0， 则． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的