专题17.4 公式法解一元二次方程-重难点题型-2021-2022学年八年级数学下册举一反三系列（沪科版）【学科网名师堂】

专题17.4 公式法解一元二次方程-重难点题型 【沪科版】 【知识点1 公式法解一元二次方程】 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个 式子叫做一元二次方程的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解 一元二次方程的方法叫做公式法. 【题型1 用公式法解一元二次方程】 【例1】（2021春•淮北月考）用公式法解方程：x2﹣5x﹣1＝0． 【分析】利用公式法求解即可． 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1， ∴△＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29＞0， 则x， 即x1，x2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式1-1】（2020秋•朝阳区期中）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0． 【分析】根据一元二次方程的公式法即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴△＝1﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13， ∴x， ∴x1，x2． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【变式1-2】（2020春•江干区期末）解下列一元二次方程：（公式法）． 【分析】整理后利用公式法求解可得． 【解答】解：整理，得：3x2﹣8x﹣2＝0， ∵a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2， ∴△＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝88＞0， 则x，即x1，x2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式1-3】（2020秋•达川区期末）解方程：3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）． 【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可． 【解答】解：3x2﹣4x+2＝0， ∵a＝3，b＝﹣4，c＝2， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×2＝24， ∴x， 则x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式x是解题的关键． 【题型2 求根公式的应用】 【例2】（2020秋•和平区期中）若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b（　　） A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m 【分析】根据公式得出m，求出即可． 【解答】解：∵x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m， ∴m， 解得：b2m， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键． 【变式2-1】（2020•福州模拟）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，下列判断一定正确的是（　　） A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．1 【分析】根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案． 【解答】解：根据一元二次方程的求根公式可得：x1，x2， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣b，x1•x21， ∴当b≠0时，a＝1，c＝﹣1，则ac＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目． 【变式2-2】（2020秋•宜兴市校级月考）已知a是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根中较小的根， （1）求a2﹣4a+2013的值； （2）化简求值：． 【分析】（1）将a代入方程确定出a2﹣4a的值，代入原式计算即可得到结果； （2）根据a的范围化简原式即可得到结果． 【解答】解：（1）将x＝a代入方程得：a2﹣4a＝﹣2， 则原式＝﹣2+2013＝2011； （2）方程解得：a2， ∴a﹣1＜0， 则原式（a﹣1）＝﹣1﹣a+1＝﹣a2． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 【变式2-3】先阅读下列材料，然后回答问题： 在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若各项的系数之和为零，即a+b+c＝0，则有一根为1，另一根为． 证明：设方程的两根为x1，x2，由a+b+c＝0， 知b＝﹣（a+c）， ∵x ∴x1＝1，x2． （1）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的各项系数满足a﹣b+c＝0，则两根的情况怎样，试说明你的结论； （2）已知方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有两个相等的实数根，运用上述结论证明：． 【分析】（1）由a﹣b+c＝0，可得出b＝a+c，结合给定材料可猜测方程的两根中有一根为﹣1，另一根为．利用求根公式结合给定材料中的证明过程即可证明猜测成立； （2）将方程系数相加即可得知“ac﹣bc+bc﹣ab+ab﹣ac＝0”，满足给定