专题17.2 直接开平方法解一元二次方程-重难点题型-2021-2022学年八年级数学下册举一反三系列（沪科版）【学科网名师堂】

专题17.2 直接开平方法解一元二次方程-重难点题型 【沪科版】 【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法. 直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为或的形式； ②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解. 【题型1 直接开平方法解一元二次方程的条件】 【例1】（2020秋•环江县期末）若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0 【分析】根据直接开平方法求解可得． 【解答】解：∵x2﹣m＝0， ∴x2＝m， 由x2﹣m＝0知m≥0， 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式1-1】（2020秋•乐亭县期中）若方程（x﹣1）2＝m+1有解，则m的取值范围是（　　） A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m为任意实数 D．m＞0 【分析】根据非负数的性质可知（x﹣1）2≥0，所以当m+1≥0时，关于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解，由此求出m的取值范围． 【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解， ∴m+1≥0， ∴m≥﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 【变式1-2】（2020春•南岗区校级月考）若（4x﹣3）2＝m+3无实数解，则m的取值范围是　 　． 【分析】根据方程无实数根，得到方程右边为负数，求出m的范围即可． 【解答】解：∵（4x﹣3）2＝m+3无实数解， ∴m+3＜0， 解得：m＜﹣3． 故答案为：m＜﹣3． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根性质是解本题的关键． 【变式1-3】（2020秋•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根． 【分析】（1）利用非负数的性质得到4m﹣1≥0，然后解不等式即可； （2）先把x＝2代入方程（x﹣1）2＝4m﹣1中求出m，则方程化为（x﹣1）2＝1，然后利用直接开平方法解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意得4m﹣1≥0， 解得m； （2）把x＝2代入方程（x﹣1）2＝4m﹣1得（2﹣1）2＝4m﹣1，解得m， ∴方程化为（x﹣1）2＝1， ∴x﹣1＝±1，解得x1＝2，x2＝0， ∴方程的另一个根为0． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 【题型2 解形如的方程】 【例2】（2020秋•梁溪区校级期中）解方程： （1）x2＝9； （2）4x2﹣25＝0． 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：（1）∵x2＝9， ∴x1＝3，x2＝﹣3； （2）∵4x2﹣25＝0， ∴4x2＝25， 则x2， ∴x1，x2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式2-1】（2020秋•江城区期中）解方程4x2﹣13＝12 【分析】移项，合并同类项，两边开方，即可求出答案． 【解答】解：移项得：4x2＝13+12， 4x2＝25， ， ， ． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键． 【变式2-2】（2020秋•马山县期中）解方程：1﹣8x+16x2＝2﹣8x． 【分析】先将方程移项、合并同类项得到16x2＝1，再两边同时除以16，得到x2，从而把问题转化为求的平方根． 【解答】解：1﹣8x+16x2＝2﹣8x， 移项、合并同类项，得16x2＝1， 两边同时除以16，得x2， 解得x＝±． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意： （1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． （2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 【变式2-3】（2020春•金山区期中）解关于x的方