第01讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

第01讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 熟练掌握两个计数原理，并能灵活应用两个计数原理解决数学与生活中的计数问题，理解两个计数原理的区别与联系，掌握分类与分步的计数原则及分类标准. 通过本节课的学习，要求理解与掌握两个计数原理的计数方法，能应用两个计数原理解决一些简单的实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点 　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1. 基本形式 一般形式 区别 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数.它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法 完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1× m2×…×mn种不同的方法 【微点拨】分类应满足：不重不漏； 分步必须注意：步与步间的连续性 2. 与两个计数原理有关问题的解题策略 （1）在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理. （2）对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观. 3. 应用分类加法计数原理应遵循的两原则 （1）根据题目特点恰当选择一个分类标准. （2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类即标准明确，不重不漏. 【即学即练1】有3名防控新冠肺炎疫情的志愿者，每人从2个不同的社区中选择1个进行服务，则不同的选择方法共有（ ） （ ） A．12种 B．9种 C．8种 D．6种 【答案】C 【解析】 【分析】 根据分步计数原理可求. 【详解】 每名防控新冠肺炎疫情的志愿者都有2种不同的选择方法，根据分步计数原理可知，不同的选择方法共有（种）． 故选：C． 【即学即练2】若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解析】 【分析】 根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，即可得解. 【详解】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有种方法.故选：A. 【即学即练3】在1，2，3，4四个数字中任取数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和共有（ ） A．8个 B．9个 C．10个 D．5个 【答案】A 【解析】 【分析】 分别求出两个数的和，三个数的和，四个数的和即可得出. 【详解】 第一类：两个数的和是，，，，，，第二类：三个数的和是，，，； 第三类：四个数的和是． 故得到不同的和为3，4，5，6，7，8，9，10，共有8个不同的数． 故选：A. 【即学即练4】现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是(　　) A.120 B.140 C.240 D.260 【答案】　D 【解析】　由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，然后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，到C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种).故选D. 【即学即练5】满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　) .A.14 B.13 C.12 D.10 【答案】　B 【解析】　方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的情况应分类讨论.①当a＝0时，方程为一元一次方程2x＋b＝0，不论b取何值，方程一定有解.此时b的取值有4个，故此时有4个有序数对. ②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.显然有3个有序数对不满足题意，分别为(1,2)，(2,1)，(2,2).a≠0时，(a，b)共有3×4＝12(个)实