课后提升训练(五) 向量的数量积(一)（Word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

课后提升训练(五)　向量的数量积(一) 1．已知▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° C　解析：如图，与的夹角为∠ABC＝120°.故选C． 2．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角θ为45°，则m·n＝(　　) A．12 B．12 C．－12 D．－12 B　解析：m·n＝|m||n|cos θ＝4×6×＝12.故选B． 3．(2021·云南昆明高一下检测)在△ABC中，∠A＝60°，||＝2，||＝1，则·的值为(　　) A．－1 B．－ C． D．1 A　解析：因为在△ABC中，∠A＝60°，所以与的夹角为120°，由数量积的定义可得·＝||||cos 120°＝2×1×＝－1.故选A． 4．已知等边△ABC的边长为2，则向量在向量方向上的投影向量为(　　) A．－ B． C．2 D．2 A　解析：在等边△ABC中，因为∠A＝60°，所以向量在向量方向上的投影向量为，所以向量在向量方向上的投影向量为－.故选A． 5．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　) A．－7 B．7 C．25 D．－25 D　解析：由条件知∠ABC＝90°， 所以原式＝0＋4×5cos (180°－C)＋5×3cos (180°－A) ＝－20cos C－15cos A ＝－20×－15×＝－16－9＝－25.故选D． 6．已知a，b的夹角为锐角，|b|＝3，a在b方向上的投影向量的模为，则a·b的值为(　　) A．3 B． C．2 D． B　解析：设a与b的夹角为θ，则|a|cos θ＝， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝.故选B． 7．(2021·山东邹城一中高一下检测)在△ABC中，BC＝5，AC＝8，C＝60°，则·的值为________． －20　解析：·＝||·||cos 〈，〉＝5×8×cos 120°＝－20. 8．若|a|＝|b|＝|a－b|＝r(r>0)，则a与b的夹角为________． 60°　解析：作＝a，＝b，则＝a－b，∠AOB为a与b的夹角，由|a|＝|b|＝|a－b|知△AOB为等边三角形，则∠AOB＝60°. 9．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________． 90°　解析：由题意可画出图形，在△OAB中，因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量a与c的夹角为90°. 10．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝2，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值． 解：如图，作＝a，＝b，∠AOB＝30°.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC，AB交于点D，则＝p＝a＋b，＝q＝a－b，∠ADC＝θ.在△ABO中，由勾股定理得，AB＝1，则BD＝.在△BCD中，由BC＝|a|＝，得CD＝，所以cos∠BDC＝，所以cos θ＝cos (180°－∠BDC)＝－. 11．已知|a|＝8，与a同向的单位向量为e，|b|＝4，a，b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影向量为(　　) A．4e B．－4e C．2e D．－2e D　解析：向量b在向量a方向上的投影向量为|b|cos 120°e＝4×cos 120°e＝－2e.故选D． 12．(2021·山东泰安一中高一下月考)已知向量a，b共线，且|a|＝1，|b|＝2，则a·b＝(　　) A．0 B．2 C．－2 D．±2 D　解析：∵向量a，b共线，所以向量a，b的夹角为0°或180°，所以a·b＝|a||b|cos 0°＝2，或a·b＝|a||b|cos 180°＝－2.故选D． 13．如图，已知BD为△ABC中∠ABC的角平分线，若BC＝2AB＝2，∠ABC＝，则·＝(　　) A．1 B．2 C．3 D． A　解析：BD为△ABC中∠ABC的角平分线，BC＝2AB＝2，∠ABC＝，可得∠A＝，AC＝，AD＝AB·tan 30°＝，·＝||||cos∠ADB＝||||＝×＝1.故选A． 14．已知a·b＝－9，e1，e2分别是与a，b方向相同的单位向量，a在b方向上的投影向量为－3e2，b在a方向上的投影向量为－e1，则a与b的夹角θ＝________. 120°　解析：由题意，得解得 ∴cos θ＝＝＝－.∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝120°. 15．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________，·＝________． 等边三角形　－8　解析：·＝||||cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是c