课后提升训练(四) 向量的数乘运算（Word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

课后提升训练(四)　向量的数乘运算 1．(2021·江苏南京高一下月考)下列计算正确的个数是(　　) ①(－5)·3a＝－15a；②3(a＋b)＝3a＋b；③(－4＋1)(a＋2a)＝－9a. A．0 B．1 C．2 D．3 C　解析：(－5)·3a＝－15a，3(a＋b)＝3a＋3b，(－4＋1)(a＋2a)＝－9a，∴①③正确．故选C． 2．(2021·山东菏泽高一下月考)点M在AB上，且＝，则等于(　　) A．－3 B． C．－ D．3 B　解析：∵＝，∴－＝－＋＝，∴＝.故选B． 3．(2021·河北邯郸高一下联考)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　) A．a与λ2a的方向相同 B．a与－λa的方向相反 C．|λa|＝λ|a| D．|－λa|＝－λ|a| A　解析：因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，故A选项正确；当λ<0时，a与－λa的方向相同，故B选项错误；当λ<0时，λ|a|<0，故C选项错误；当λ>0时，－λ|a|<0，故D选项错误．故选A． 4．设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于(　　) A．10 B．－10 C．2 D．－2 C　解析：因为A，B，D三点共线，所以＝λ＝λ(－)，所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以λ＝1，k＝2.故选C． 5．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是(　　) ①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n. A．②④ B．①② C．①③ D．③④ B　解析：由向量数乘的运算律知①②正确；③中当m＝0时，ma＝mb，但a不一定等于b，故错误；④中当a＝0时等式成立，但m不一定等于n，故错误．故选B. 6．在△ABC中，＝(＋)，D为BC边的中点，则(　　) A．3＝7 B．7＝3 C．2＝3 D．3＝2 C　解析：因为D为BC边的中点，所以＋＝2，因为＝(＋)，所以＝，则2＝3.故选C. 7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________． ±　解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|. ∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝，即λ＝±. 8．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 4b－3a　解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 9．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________；若向量ma－3b与a＋(2－m)b共线反向，则实数m的值为________． －1或3　－1　解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线， 所以ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]． 又因为向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝λ且－3＝λ(2－m)，解得m＝－1或m＝3.反向λ为负值，此时m＝－1. 10．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量2ka＋b与8a＋kb的方向相反，求k的值． 解：由题意可知存在实数λ(λ<0)使2ka＋b＝λ(8a＋kb)，即2ka＋b＝8λa＋λkb，所以解得(舍去)或∴k＝－2. 11．在△ABC中，D为AB的中点，G为线段CD上的一点，若＝＋λ，则λ的值为(　　) A． B． C． D． B　解析：如图， ∵D为AB的中点，∴＝＋λ＝＋λ，且G为线段CD上一点，∴＋λ＝1，解得λ＝.故选B． 12．(多选)点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P不可能在(　　) A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上 C．AB边上 D．△ABC外部 ACD　解析：因为＝λ＋，所以－＝λ.所以＝λ. 所以P，A，C三点共线．所以点P一定在AC边所在的直线上． 所以点P不可能在△ABC内部与外部，也不可能在AB边上．故选ACD． 13．(2021·山东淄博第七中学高一下月考)如图在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比是(　　) A． B． C． D． A　解析：∵＋＋＝，∴＋＋－＝0， 即＋＋＋＝0，∴＋＋＝0，2＋ ＝0，∴点P在线段AC上，且||＝3||，那么△PAB的面积与△ABC的面积之比是.故选A. 14．如果实数p和非零向量a与b满足pa＋(p＋1)b＝0，则向量a和b________(填“共线”或“不共线”)． 共线　解析：由题知实数p≠0，则pa＋(p＋1)b＝0可化为a＝－b，由向量共线定理可知a，b共线． 15．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m