课后提升训练(六) 向量的数量积(二)（Word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

课后提升训练(六)　向量的数量积(二) 1．若|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为135°，则a·(－b)等于(　　) A．12 B．－12 C．12 D．－12 C　解析：因为a·(－b)＝－a·b ＝－|a||b|cos 135°＝－4×6×＝12.故选C． 2．已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b<0，则△ABC是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．任意三角形 A　解析：由a·b<0易知向量a与b的夹角为钝角．故选A． 3．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° B　解析：由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|， 平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2⇒2a·b＝－|a|2 ⇒2|a|·|b|·cos θ＝－|a|2⇒cos θ＝－⇒θ＝120°.故选B． 4．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 A　解析：cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴|a×b|＝2×5×＝8.故选A． 5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．12 C　解析：∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72， ∴a2－a·b－6b2＝－72， ∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72， ∴|a|2－2|a|－24＝0， 解得|a|＝6或|a|＝－4. 又|a|≥0，∴|a|＝6.故选C． 6．(2021·山东潍坊三中高一下月考)若a，b，c均为实数，则下面三个结论均是正确的： ①ab＝ba；②(ab)c＝a(bc)；③若ab＝bc(b≠0)，则a－c＝0； 对向量a，b，c，用类比的思想可得到以下三个结论： ①a·b＝b·a；②c＝a；③若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c； 其中结论正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 A　解析：平面向量的数量积满足交换律，所以①正确；平面向量的数量积不满足结合律，所以②错误；平面向量的数量积不满足消去律，所以③错误．故选A． 7．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________. 　6　解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|·cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|·cos θ＝3＋2×＝6. 8．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________． 　解析：∵a⊥b，∴a·b＝0， (a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2， |a＋2b|＝＝， |a－2b|＝＝， ∴a2－4b2＝··cos 120°， 化简得a2－2b2＝0， ∴＝. 9．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________． [0，1]　解析：当b＝0时，符合题意；当b≠0时，b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ(θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b|≤1. 10．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算： (1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|. 解：(1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2＝4|a|2－|b|2 ＝4×42－82＝0. (2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2 ＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256. ∴|4a－2b|＝16. 11．(多选)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论错误的是(　　) A．a∥b B．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b ACD　解析：由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，∴a⊥b，故选ACD． 12．(2021·河北邯郸高一下期中)已知向量a，b满足：＝2＝2，＝，则向量a与向量b的夹角为(　　) A． B． C． D． B　解析：将|a＋b|＝两边平方得a2＋2a·b＋b2＝7，即a·b＝1，设向量a与向量b的夹角为θ，则cos θ＝＝，故θ＝，故选B． 13．若O为△ABC所在平