课时作业(十二) 数学归纳法（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

课时作业(十二)　数学归纳法 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为(　　) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 C　[边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．] 2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　) A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N*) B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N*) C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N*) D．假设n＝k时正确，再推n＝k＋2时正确(其中k∈N*) B　[因为n为正奇数，所以n＝2k－1(k∈N*).] 3．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　) A．2 B．3 C．5 D．6 C　[令n0分别取2，3，5，6，依次验证即得．] 4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 D　[当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2. 当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.] 5．对于不等式<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即<k＋1，则当n＝k＋1时， ＝<＝＝(k＋1)＋1， 所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 D　[在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．] 6．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法验证关于f(n)的命题时，第一步计算f(1)＝ ；第二步“从n＝k到n＝k＋1时”，f(k＋1)＝f(k)＋ ． 解析：　f(1)＝1＋＝； 假设当n＝k时，f(k)＝1＋＋＋…＋， 那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋， f(k＋1)＝f(k)＋＋＋. 答案：　　＋＋ 7．平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域，则k＋1条直线把平面分成的区域数f(k＋1)＝f(k)＋ ． 解析：　当n＝k＋1时，第k＋1条直线被前k条直线分成(k＋1)段，而每一段将它们所在区域一分为二，故增加了k＋1个区域． 答案：　k＋1 8．用数学归纳法证明“当n∈N＋时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为 ， 从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是 ． 解析：　当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24， 所以原式为1＋2＋22＋23＋24， 从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1. 答案：　1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 9．求证：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5…(2n－1)(n∈N*). 证明：　(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)…(k＋k) ＝2k·1·3·5…(2k－1)， 那么当n＝k＋1时， 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5…(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·5…(2k－1)(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5…[2(k＋1)－1]. 这就是说当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立． 10．用数学归纳法证明对一切，n∈N*，1＋＋＋…＋≥. 证明：　(1)当n＝1时，左边＝1， 右边＝＝1，不等式成立． (2)假设当n＝k时，不等式成立， 即1＋＋＋…＋≥， 则当n＝k＋1时， 要证1＋＋＋…＋＋≥， 只需证＋≥. 因为－ ＝－ ＝ ＝≤0， 所以＋≥， 即1＋＋＋…＋＋≥， 所以当n＝k＋1时不等式成立． 由(1)(2)知，不等式对一切n∈N