课时作业(七) 数量积的定义及计算（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【金版新学案】同步导学（湘教版）

课时作业(七)　数量积的定义及计算 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [A级　基础达标] 1．已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的投影为(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．4 C．4 D．8＋ B　[∵|a|＝8，e为单位向量，且〈a, e〉＝，由平面向量的投影定义得|a|·cos 〈a，e〉＝8·＝4，∴a在e方向上的投影为4.故选B.] 2．已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，|a＋b|＝，则向量a，b夹角的余弦值为(　　) A．－ B． C．－ D． A　[向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，|a＋b|＝，则|a＋b|2＝5，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝5，故3＋4＋2a·b＝5，即a·b＝－1，设向量a，b的夹角为α，则cos α＝＝＝－.故选A.] 3．设a，b为单位向量，且|a－b|＝1，则|a＋2b|＝(　　) A． B． C．3 D．7 B　[因为a，b为单位向量，且|a－b|＝1，所以(a－b)2＝1，所以a2－2a·b＋b2＝1，解得a·b＝，所以|a＋2b|＝＝＝＝.故选B.] 4．在△ABC中，·<0，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 C　[∵·＝||·||cos A<0，∴cos A<0，∴∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形．故选C.] 5．在Rt△ABC中，∠C＝，AB＝4，AC＝2.若＝，则·＝(　　) A．－18 B．－6 C．18 D．6 C　[如图，在Rt△ABC中，∠C＝，AB＝4，AC＝2，cos ∠CAB＝＝.若＝，则·＝(－)·(－)＝·－·－·＋AC2＝AB2－·－·＋AC2＝×16－×4×2×＋4＝18.故选C.] 6．在△ABC中，AB＝1，AC＝2，(＋)·＝2，则角A的大小为________． 解析：　由题意知，(＋)·＝2＋·＝12＋1×2cos A＝2， 所以cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝. 答案：　 7．已知|a|＝6，e为单位向量，若向量a与e的夹角为135°，则向量a在e上的投影向量为________． 解析：　因为|a|＝6，〈a，e〉＝135°， 所以向量a在e上的投影向量为：|a|cos 〈a，e〉·e＝6·(－)·e＝－3e. 答案：　－3e 8．已知向量a与b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且a⊥c，则的值为________． 解析：　∵a⊥c，∴a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0，再由向量的数量积公式，得|a|2＋|a||b|cos 120°＝0，∴|a|－|b|＝0.所以＝. 答案：　 9．(1)已知单位向量e1与e2夹角为60°，且a＝e1＋e2，b＝e1－2e2，求a·b的值． (2)已知|a|＝，|b|＝3，|a－b|＝，求a与b夹角的余弦值． 解析：　(1)∵单位向量e1与e2夹角为60°， ∴e1·e2＝|e1|·|e2|cos 60°＝1×1×＝. ∴a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e12－e1·e2－2e22＝1－－2＝－. (2)∵|a－b|＝，∴a2－2a·b＋b2＝7，即2－2a·b＋9＝7， ∴a·b＝2， ∴cos 〈a，b〉＝＝＝. 故a与b夹角的余弦值为. 10．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 解析：　∵|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°， ∴e1·e2＝|e1|·|e2|cos 60°＝1， 设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为θ. 根据题意，得cos θ＝<0， ∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0， 化简，得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－. 当θ＝π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角． 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0， 则解得 ∴实数t的取值范围是∪. [B级　能力提升] 11．已知单位向量a，b满足|a－b|＋2a·b＝0，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为(　　) A． B． C． D． B　[由|a－b|＋2a·b＝0，得|a－b|＝－2a·b，两边平方，得a2－2a·b＋b2＝12(a·b)2，即12(a·b)2＋2a·b－2＝0，整理得(2a·b＋1)(3a·b－1)＝0，所以a·b＝－或a·b＝.因为|a－b|＝－2a·b≥0，所以a·b≤0，所以a·b＝－，所以|ta＋b|＝＝＝＝≥.故选B.] 12．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AB＝BC＝＝2，AC＝CD＝2，点E在四边形A