6.2.3向量的数乘运算（导学案）-【新教材精创】 2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)

《6.2.3向量的数乘运算》 导学案 参考答案 新课导学 （一）新知导入 【问题1】可以,即=. 【问题2】与的方向相同,与的方向相反. 【问题3】的长度是的长度的3倍,即若||=λ,则||=3λ. 【问题4】成立,向量同样满足分配律、结合律. （二）向量的数乘运算 1.向量的数乘运算 1．定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa. 2．规定：①|λa|＝|λ||a|， ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. 3．运算律：设λ，μ为实数，则 (1)λ(μa)＝λμa； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)． 特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 4. 向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b. 【做一做1】解析：∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同． 答案：C 【做一做2】答案：D 2.向量共线定理 【探究1】　正确． 【探究2】不一定．当b＝0，a＝0时，λ有无数个值；当b＝0，a≠0时，λ无解；只有当b≠0时，才有a＝λb. 【探究3】一定存在,且是唯一的. 向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 【辩一辩】答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× （三）典型例题 【例1】 【解】(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b. (2)[(3a＋2b)－a－b]－[a＋(b＋a)]＝(3a－a＋2b－b)－(a＋a＋b) ＝(a＋b)－(a＋b)＝a＋b－a－b＝0. (3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c) ＝6a＋2b. 【巩固练习1】【解】（1） =. （2） = 【例2】(1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5. 所以，共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线． （2）解：因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于e1与e2不共线，只能有所以k＝±1. 【巩固练习2】解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得 答案：－ 【例3】【解】因为∥，||＝2||，所以＝2，＝. (1)＝＋＝e2＋e1. (2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2. 【变式探究】【解】因为＝＋＋，＝＋＋， 所以2＝(＋)＋＋＋(＋)． 又因为M，N分别是DC，AB的中点， 所以＋＝0，＋＝0.所以2＝＋， 所以＝(－－)＝－e2－e1. 【巩固练习3】【解】（1）因为，所以； （2）因为， 所以 （四）操作演练 素养提升 答案：1.B 2.C 3.D 4.－2 1 学科网（北京）股份有限公司 $班级： 姓名： 日期： 《6.2.3向量的数乘运算》导学案 地 位： 本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019） 第六章 平面向量及其应用 6.2.3向量的数乘运算 学习目标： 1.理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养。 2.掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养。 学习重难点： 重点：理解并掌握两向量共线的性质和判断方法 难点：能熟练地运用向量共线的性质和判断方法处理有关向量共线问题 自主预习： 1. 本节所处教材的第 页. 2. 复习—— 1　 向量的加法： 2　 向量的减法： 3.预习—— 向量的数乘： 向量共线定理： 新课导学 学习探究 （一）新知导入 1. 创设情境，生成问题 夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差？这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍． 若设光速为v1，声速为v2，将向量