第02讲 平行四边形的判定-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（华东师大版）

第2讲平行四边形的判定 目标导航 1.学会综合应用几种判定方法。 2.熟练选择几种判定方法。 知识精讲 知识点01 平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. （1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个 行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【即学即练1】 如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形． 【点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形． 【解析】 证明：∵ 四边形AECF为平行四边形， ∴ AF∥CE． ∵ 四边形DEBF为平行四边形， ∴ BE∥DF． ∴ 四边形EGFH为平行四边形． 【总结】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【即学即练2】 已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ． 求证：四边形PBQD是平行四边形． 【点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明． 【解析】 证明：连接BD交AC与O点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO， 又∵AP=CQ， ∴AP+AO=CQ+CO， 即PO=QO， ∴四边形PBQD是平行四边形． 【总结】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明． 【即学即练3】 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．试说明：D是BC的中点. 【答案】 证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AEF和△DEB中， ∵ ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴AF=BD， ∵AF=DC， ∴BD=DC， ∴D是BC的中点. 【即学即练4】 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F．求证：四边形AECF是平行四边形． 【点拨】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形ABCD是平行四边形，可证OF=OE，OA=OC，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决． 【解析】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD=OB，OA=OC， ∵AB∥CD， ∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO， ∴在△FDO和△EBO中， ∴△FDO≌△EBO（AAS）， ∴OF=OE， ∴四边形AECF是平行四边形． 【总结】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 【即学即练5】 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：BE=DF； （2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）． 【答案】 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB， ∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F， ∴∠AEB=∠CFD=90°， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF； （2）四边形MENF是平行四边形． 证明：由（1）可知：BE=DF， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠MDB=∠NBD， ∵DM=BN， ∴△DMF≌△BNE， ∴NE=MF，∠MFD=∠NEB， ∴∠MFE=∠NEF， ∴MF∥NE， ∴四边形MENF是平行四边形． 能力拓展 考法01 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】 证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E， ∴∠1=∠2， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠F， ∵CE=CF， ∴∠F=∠3， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABC