4.6 函数的应用(二) 4.7 数学建模活动：生长规律的描述-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

4.6　函数的应用(二) 4.7　数学建模活动：生长规律的描述 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解幂函数、指数函数、对数函数的广泛应用．(重点) 2．通过对数据的合理分析，能自己建立函数模型，解决实际问题．(难点) 1．通过三种函数模型应用题的学习，培养学生的数学建模素养． 2．借助拟合函数模型的学习，提升数学运算、数据分析的核心素养. 爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕．若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁．也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理．例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式．假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%. 问题：五期后的本利和是多少？ [提示]　解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五期的本利和． 1．解决函数应用问题的基本步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原． 这些步骤用框图表示如图： 2．常见的函数模型 (1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)． (2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)． (3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)． (4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)． (5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)． (6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)． (7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)． 思考1：哪些实际问题可以用指数函数模型来表示？ [提示]　人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题． 思考2：哪些实际问题可以用对数函数模型来表示？ [提示]　地震震级的变化规律、溶液pH值的变化规律、航天问题等． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(　　) (2)函数y＝x衰减的速度越来越慢．(　　) (3)不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(　　) (1)√　(2)√　(3)×　[(1)因为一次函数的图像是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值． (2)由函数y＝x的图像可知其衰减的速度越来越慢． (3)根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.] 2．某人骑自行车沿直线匀速前行，先前进了a km，休息了一段时间，又沿原路返回b km(b<a)，再前进c km，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是(　　) A　　　B　　　　C　　　D C　[B与C的区别在于C中沿原路返回时耗费了时间而B中没有体现，故选C.] 3．已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，则该工厂这一年中的月平均增长率是(　　) A.－1　　　　　　　　 B. C.－1 D. A　[设月平均增长率为x,1月份产量为a，则有a(1＋x)11＝7a，则1＋x＝，故x＝－1.] 4．已知气压p(百帕)与海拔h(米)的关系式为p＝1 000×，则海拔6 000米处的气压为________百帕． 4.9　[令h＝6 000， 得p＝1 000×2＝4.9.] 指数函数模型 【例1】　某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万人？(精确到1年) (1.01210≈1.1267,1.01211≈1.1402，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005) [思路探究]　本题是增长率问题，可以分别写第1年、第2年，依次类推得第x年的解析式． [解]　(1)1年后该城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3； x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.012