课时分层作业6 平面向量基本定理-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(六)　平面向量基本定理 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　) A．0,0　　　　 B．1,1 C．3,0 D．3,4 D　[因为e1与e2不共线，所以解方程组得x＝3，y＝4.] 2．(多选题)已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，能作为一组基底的是(　　) A．{e1＋e2，e1－e2} B．{3e1－2e2,4e2－6e1} C．{e1＋2e2，e2＋2e1} D．{e2，e1＋e2} ACD　[∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线．A、C、D选项均可．] 3．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为(　　) A．(a＋b)　 B．a＋b C．a＋b D．(a＋b) C　[因为＝2，所以＝. 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.] 4．在△ABC中，＝，EF∥BC，EF交AC于F，设＝a，＝b，则等于(　　) A．－a＋b　　 B．a－b C．a－b D．a＋b A　[∵＝，∴＝－. 又∵EF∥BC，∴＝＝(－)， ∴＝＋＝－＋(－) ＝－＝－a＋b.] 5．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝－ D．＝－＋ D　[如图，D为中点，O为靠近A的三等分点，＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－＋＋＝－＋.] 二、填空题 6．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________. a－b　[由a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，由①＋②得e2＝a＋b，代入①可求得e1＝a－b， 所以e1＋e2＝a－b.] 7．若向量a＝4e1＋2e2与b＝ke1＋e2共线，其中e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为________． 2　[∵向量a与b共线，∴存在实数λ，使得b＝λa， 即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2. ∵e1，e2是同一平面内两个不共线的向量， ∴∴k＝2.] 8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 　[如图，由题意知，D为AB的中点， ＝， 所以＝＋ ＝＋ ＝＋(－)＝－＋， 所以λ1＝－，λ2＝， 所以λ1＋λ2＝－＋＝.] 三、解答题 9．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，以a，b为基底表示向量与. [解]　在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC， ∴＝＋＝＋＝＋＝b＋a， ＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b. 10．如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值． [解]　在矩形OACB中，＝＋， 又＝λ＋μ ＝λ(＋)＋μ(＋) ＝λ＋μ ＝＋， 所以＝1，＝1， 所以λ＝μ＝. 11．(多选题)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法正确的是(　　) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对 C．若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 AD　[由平面向量基本定理，可知AD说法正确，B说法不正确．对于C，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故C不正确．] 12．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．外心 B．内心　　　 C．重心　　　 D．垂心 B　[为上的单位向量， 为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)， ∴λ的方向与＋的方向相同． 而＝＋λ， ∴点P在上移动， ∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．] 13．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋.则△ABM与△ABC的面积之比为________． 1∶4　[如图，由＝＋可知M，B，C三点共线， 令＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ⇒λ＝，所以＝，即△ABM与△ABC面积之比为1