课时分层作业5 向量的数量积-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(五)　向量的数量积 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于(　　) A．　　　B．　　　C．1＋　　　D．2 B　[a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝.] 2．已知单位向量a，b的夹角为，那么|a＋2b|＝(　　) A．2 B． C．2 D．4 B　[|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2 ＝1＋4×1×1×＋4×1＝7，∴|a＋2b|＝.] 3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 D　[∵a∥b，a⊥c， ∴b⊥c， ∴a·c＝0，b·c＝0， c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.] 4．如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则·等于(　　) A．－ B． C．－ D． C　[因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝，所以·＝1××cos 150°＝－.] 5．已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． C　[|a－2b|＝|a＋b|⇒(a－2b)2＝(a＋b)2⇒a·b＝b2⇒cos〈a，b〉＝＝＝.] 二、填空题 6．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为________． －e　[设a与b的夹角θ，则cos θ＝＝＝－，所以a在b上的投影向量为|a|cos θ·e＝3×e＝－e.] 7．已知向量|a|＝，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________. 5　[|a|2＝5，|a＋b|＝5，∴|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50，∴5＋|b|2＋20＝50，∴|b|＝5.] 8．若a，b均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________． 　[由题知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0， 即|a|2－2b·a＝|a|2－2|a||b|cos θ＝0， |b|2－2b·a＝|b|2－2|a||b|cos θ＝0，故|a|2＝|b|2， 即|a|＝|b|，所以|a|2－2|a||a|cos θ＝0，故cos θ＝， 因为 0≤θ≤π，故θ＝.] 三、解答题 9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算： (1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|. [解](1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2＝4|a|2－|b|2 ＝4×42－82＝0. (2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2 ＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256. ∴|4a－2b|＝16. 10．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝. (1)求|b|； (2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值． [解]　(1)因为(a－b)·(a＋b)＝， 即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝， 所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝. (2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1. 又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，所以cos θ＝＝， 又θ∈[0，π]，故θ＝. 11．(多选题)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是(　　) A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|＜|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 ACD　[根据向量积的分配律知A正确； 因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， 所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误； 因为a，b不共线，所以|a|，|b|， |a－b|组成三角形三边， 所以|a|－|b|＜|a－b|成立，C正确； D正确．] 12．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于(　　) A．2 B． C． D． D　[·＝||||cos∠DAC ＝||cos ＝||sin∠BAC＝||sin B ＝||sin B＝||＝.] 13．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________. 5或－8　[因为3a＋mb＋7c＝0， 所以3a＋mb＝－7c， 所以(3a＋mb)2＝(－7c)2， 即9＋m2＋6