6.3.1 平面向量基本定理-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解平面向量基本定理及其意义．(重点) 2．了解向量基底的含义．在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量．(难点) 1.通过作图引导学生得出平面向量基本定理，培养直观想象素养． 2．通过基底的学习，提升直观想象和逻辑推理的核心素养. 　 一天，2只住在正西方向的大猴子和4只住在北偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子，他们分别朝着自己住的方向拉，已知每只大猴子的拉力是100牛顿，每只小猴子的拉力是50牛顿． 问题：你认为这筐桃子往哪边运动？ 1．平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 2.基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 思考：0能与另外一个向量a构成基底吗？ [提示]　不能．基向量是不共线的，而0与任意向量都共线． 拓展：(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，{e1，e2}的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底． (2)基底{e1，e2}确定后，实数λ1，λ2是唯一确定的． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底． (　　) (2)基底中的向量可以是零向量． (　　) (3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． (　　) (4)e1，e2是平面α内两个不共线向量，若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(　　) A．{e1，e2}　　 B．{e1＋e2，3e1＋3e2} C．{e1，5e2} D．{e1，e1＋e2} [答案]　B 3．(一题两空)若a，b不共线，且la＋mb＝0(l，m∈R)，则l＝________，m＝________. [答案]　0　0 4．若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，若{a，b}为基底，则＝________. [答案]　(a＋b) 对基底的理解 【例1】　(多选题)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，则下列向量组可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　) A．与　　 B．与 C．与 D．与 AC　[选项A，与不共线；选项B，＝－，则与共线；选项C，与不共线；选项D，＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故选项AC满足题意．] 对基底的理解 两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． [跟进训练] 若向量a，b不共线，则c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断{c，d}能否作为基底． [解]　设存在实数λ，使c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0，由于向量a，b不共线， 所以2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的， 从而c，d不共线，故{c，d}能作为基底. 用基底表示向量 【例2】　(1)(多选题)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A．＝－a－b B．＝a＋b C．＝－a＋b D．＝a (2)如图所示，▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量，. [思路探究]　用基底表示平面向量，要充分利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则． (1)ABC　[如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，A正确； ＝＋＝a＋b， B正确； ＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，C正确；＝＝－a，D不正确．] (2)[解]　＝＋＋＝－＋＋ ＝－＋＋＝a－b. ＝＋＋＝－＋＋＝b－a. 1．若本例(2)中条件不变，试用a，b表示. [解]　由平面几何的知识可知＝， 故＝＋＝＋ ＝a＋ ＝a＋b－a ＝a＋b. 2．若本例(2)中的基向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用a，b表示向量，. [解]　＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a. ＝＋＝2＋＝－2＋＝－2a＋b. 用基底表示向量的三个依据和两个“模型” (1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义． (2)模型： 平面向量基本定理的唯一性及其应用 [探究问题] 若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，