6.2.4 向量的数量积-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

6.2.4　向量的数量积 学 习 目 标 核 心 素 养 1．平面向量的数量积．(重点) 2．投影向量的概念．(难点) 3．向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点) 1．通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养． 2．通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养. 　 大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ. 问题：该大力士所做的功是多少？ 1．两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向． ②当θ＝π时，向量a，b反向． ③当θ＝时，向量a，b垂直，记作a⊥b. 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|·cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 思考1：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？ [提示]　两个向量数量积的运算结果是一个数量，向量线性的结果是向量． 3．投影向量 设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 4．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 思考2：a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？ [提示]　(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． 拓展： 1．两个向量a，b的夹角为锐角时，a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角时，a·b<0且a，b不共线． 2．数量积的定义中要注意两向量的夹角一定要同起点．两向量夹角的范围是[0，π]． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0. (　　) (2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0. (　　) (3)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b. (　　) (4)若a·b＝a·c，则b＝c. (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝(　　) A．　　　B．　　　C．1　　　D．－ A　[a·b＝1×1×cos 60°＝.] 3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　) A． B． C． D． C　[由条件可知，cos θ＝＝＝， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝.] 4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为60°，那么a·b＝________. 　[a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝.] 平面向量的数量积运算 【例1】　(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)． (2)如图，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求： ①·；②·. [解]　(1)(a＋2b)·(a＋3b) ＝a·a＋5a·b＋6b·b ＝|a|2＋5a·b＋6|b|2 ＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2 ＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192. (2)①因为∥，且方向相同， 所以与的夹角是0°， 所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9. ②因为与的夹角为60°， 所以与的夹角为120°， 所以·＝||||·cos 120° ＝4×3×＝－6. 求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]． (2)分别求|a|和|b|. (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省略． [跟进训练] 1．(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求： ①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)． (2)设正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a