精品解析：北京市通州区2022届高三上学期期末数学试题

通州区2021—2022学年高三摸底考试 数学试卷 2022年1月 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是公比为正数的等比数列，是其前项和，，，则（ ） A. 31 B. 63 C. 127 D. 255 5. “直线与直线没有公共点”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数是（ ） A. 奇函数，且最大值为2 B. 奇函数，且最大值为1 C. 偶函数，且最大值为2 D. 偶函数，且最大值为1 8. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 9. 经过点的直线与圆交于，两点，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 10 D. 10. 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔1min测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 4 5 茶水温度/℃ 85.00 7900 73.60 6874 64.37 60.43 为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择： ①，②． 选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（ ） （参考数据：，） A. 6min B. 6.5min C. 7min D. 7.5min 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线的焦点坐标是______． 12. 最小正周期为2的函数的解析式可以是______．（写出一个即可） 13. 如图，圆锥的体积为，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，设圆柱体积为，则______． 14. 已知平面向量，的夹角为120°，且，，则的值为______，的最小值为______． 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①若，则有一个零点； ②若，则有三个零点； ③，在R上是增函数； ④，使得在R上是增函数． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 在中，，．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题： （1）求角的大小； （2）求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 17. 如图，在长方体中，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 人类常见的遗传病类型主要分为单基因遗传病、多基因遗传病和染色体异常遗传病三大类，高度近视（600度以上）、红绿色盲都是较常见的单基因遗传病．某学校课后实践活动对学生这两种遗传病情况进行统计，分别从男、女同学中各随机抽取100人进行调查，对患病情况统计如下，其中“√”表示是，“×”表示否． 人数 男生 高度近视 红绿色盲 3 √ × √ 2 √ √ × 1 √ √ √ 1 × × √ 2 × √ × （1）分别估计该校男生红绿色盲的发病率和该校女生红绿色盲的发病率； （2）为做家庭访问，从已调查出患红绿色盲的同学中任选两人，记这两人中男同学人数为，求的分布列及数学期望； （3）假设该校男生人数为1500，女生人数为2500，试估计该校学生高度近视发病率与该校学生红绿色盲发病率的大小关系，并说明理由． （注：） 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间与极值． 20. 已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，过