6.2.3向量的数乘运算- 2021-2022学年高一下学期人教A版2019必修第二册同步练习

同步训练四向量的数乘运算 基础知识 一、选择题 1. 已知点在线段上，且，则等于  A. B. C. 　 D. 【答案】D 【解析】解： 点在线段上，且， 化为，． 故选D． 2. 如图所示，已知在中，是边上的中点，则    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：方法一：是的中点， ， ． 方法二： ． 故选B． 3. 如图，已知，，，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：， ， 故选：． 4. 如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则        A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：依题意， ． 故选C． 5. （多选）已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的为        A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】解：对于和属于数乘对向量与实数的分配律，故A，B 正确； 对于，若，则不能推出，故C错误； 对于，若，则与，没有关系，故D错误． 故选AB． 二、填空题 6. 设，是不共线向量，与共线，则实数为          ． 【答案】 【解析】解：与共线， ， ，， ． 故答案为．  7. 设，是两个不共线的向量，，，，，三点共线，则           ． 【答案】 【解析】解：，是两个不共线的向量，，，，，三点共线， ， ，解得． 故答案为：． 三、解答题 8. 化简下列各式． ； ． 【答案】解：． ． 【解析】本题考查向量的线性运算，属于基础题． 根据题意，进行计算即可； 利用向量的线性运算，进行求解即可． 9. 设，是不共线的两个非零向量． 若，，，求证：，，三点共线； 若与共线，求实数的值． 【答案】 解：， ， 与共线，且有公共端点． ，，三点共线． 与共线， 存在实数，使得． ． 与不共线， ． ． 实数的值为或． 【解析】本题考查向量平行的判断与向量的加法、减法、数乘运算，是容易题． 要证明三点共线即证明两个向量共线； 根据两个向量共线的充要条件求解即可． 能力提升 10. 是内一点，为的中点且满足，若的面积为，则的面积为          ． 【答案】 【解析】解：如图所示，连接， 则有， 所以， 即， 因为， 所以， 故答案为．  11. 在中，，点是上的一点，若，则实数的值是          ． 【答案】 【解析】解： ，， ， 设，得， 且，解之得，． 故答案为   12. 中，，，与相交于点，若与的面积之比为，则正实数的值为    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：， 为中点，即， ，与的面积之比为， 不妨设，为，为，为， 则， 为， 为， ， ， ， ， ， ， 综上， ，得． 故选C． 13. （多选）在中，，，分别是边，，中点，下列说法正确的是    A. B. C. 是的平分线所在直线的方向向量 D. 若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】解：如图所示： 对选项A，，故A错误． 对选项B， ，故B正确． 对选项C，，分别表示与，同向的单位向量， 由平面向量加法可知C正确； 对选项D，如图所示： 因为在上，即三点共线， 设，． 又因为，所以． 因为，则，． 令， 当时，取得最大值为故选项D正确． 故选：． 14. 在中，． 求与的面积之比； 若为中点，与交于点，且，求的值． 【答案】解：在中，， 得， 得， 得， 即点为线段上的靠近的四等分点， ：， 与的面积之比为； ，，， 设， 三点、、共线， ，解得， ，， ． 【解析】本题考查了向量的线性运算，平面向量的基本定理，属于中档题． 由，可得，即点为线段上的靠近的四等分点，即可得解； 由，则可设，则可解出，据此可得答案． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $同步训练四向量的数乘运算 基础知识 一、选择题 1. 已知点在线段上，且，则等于  A. B. C. 　 D. 2. 如图所示，已知在中，是边上的中点，则    A. B. C. D. 3. 如图，已知，，，，则 A. B. C. D. 4. 如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则        A. B. C. D. 5. （多选）已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的为        A. B. C. 若，则 D. 若，则 二、填空题 6. 设，是不共线向量，与共线，则实数为          ． 7. 设，是两个不共线的向量，，，，，三点共线，则           ． 三、解答题 8. 化简下列各式． ； ． 9. 设，是不共线的两个非零向量． 若，，，求证：，，三点共线； 若与共线，求实数的值． 能力